On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=\sin\left(\dfrac{2}{3}x\right).
f est-elle paire ou impaire ?
Pour étudier la parité de f sur \mathbb{R}, on commence par établir un lien entre f(-x) et f(x).
Si f(-x)=f(x) pour tout réel x, alors f est paire.
Si f(-x)=-f(x) pour tout réel x, alors f est impaire.
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \sin\left(\dfrac{2}{3}x\right)
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f(-x) = \sin\left(-\dfrac{2}{3}x\right)
Or, on sait que pour tout réel X, \sin(-X)=-\sin(X).
On a donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f(-x) = - \sin\left(\dfrac{2}{3}x\right)
c'est-à-dire,
f(-x)=-f(x) pour tout réel x
f est impaire.
f est-elle périodique de période 3\pi ?
On vérifie que f est périodique de période 3\pi :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x+3\pi) = \text{sin}(\dfrac{2}{3}(x+3\pi))\\\\\Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R}, f(x+3\pi) = \text{sin}(\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2\times 3}{3}\pi))\\\\\\\Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R}, f(x+3\pi) = \text{sin}(\dfrac{2}{3}x+2\pi))\\\\\\
Or, pour tout réel x, \text{sin}(\dfrac{2}{3}x+2\pi) = \text{sin}(\dfrac{2}{3}x).
On a donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x+3\pi) = \text{sin}(\dfrac{2}{3}x)\\\\\\\\\Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R}, f(x+3\pi) = f(x)
f est donc bien périodique de période 3\pi.
À quel intervalle peut-on restreindre l'étude de f ?
Si f est périodique de période T, alors on peut restreindre le domaine d'étude de f à l'intervalle \left[ -\dfrac{T}{2} ; \dfrac{T}{2} \right].
On peut donc déjà restreindre le domaine d'étude de f à l'intervalle \left[ -\dfrac{3\pi}{2} ; \dfrac{3\pi}{2} \right].
De plus, si f est paire ou impaire, on peut encore restreindre le domaine d'étude de f à l'intervalle \left[ 0 ; \dfrac{T}{2} \right] ou à l'intervalle \left[ -\dfrac{T}{2} ; 0 \right].
On peut ainsi restreindre l'étude de f à l'un ou l'autre des intervalles \left[ 0 ; \dfrac{3\pi}{2} \right] et \left[ -\dfrac{3\pi}{2} ; 0 \right].
Ici, on peut donc restreindre l'intervalle d'étude de f à \left[ 0 ; \dfrac{3\pi}{2} \right].
Quelle est l'expression de la dérivée f' de f sur \left[ 0 ; \dfrac{3\pi}{2} \right] ?
f est dérivable sur \mathbb{R}, donc sur \left[ 0 ; \dfrac{3\pi}{2} \right], en tant que composée et somme de fonctions dérivables sur \mathbb{R}.
\forall x \in \left[ 0 ; \dfrac{3\pi}{2} \right], f(x) = \text{sin}(\dfrac{2}{3}x)
On remarque que f = \text{sin}(u), avec \forall x \in \left[ 0 ; \dfrac{3\pi}{2} \right], u(x) = \dfrac{2}{3}x.
On a donc :
f' = u'\text{cos}(u)
Ainsi :
\forall x \in \left[ 0 ; \dfrac{3\pi}{2} \right], f'(x) = \dfrac{2}{3}\text{cos}(\dfrac{2}{3}x)
Quel est le signe de f' sur \left[ 0 ; \dfrac{3\pi}{2} \right] ?
Pour étudier le signe de f' sur \left[ 0 ; \dfrac{3\pi}{2} \right], il faut résoudre l'inéquation f'(x)>0 sur \left[ 0 ; \dfrac{3\pi}{2} \right].
Soit x\in \left[ 0 ; \dfrac{3\pi}{2} \right].
f'(x)>0\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}\cos\left(\dfrac{2}{3}x\right)>0\Leftrightarrow\cos\left(\dfrac{2}{3}x\right)>0.
Or comme x\in \left[ 0 ; \dfrac{3\pi}{2} \right], on a :
\dfrac{2}{3}x\in \left[ 0 ; \pi\right].
Or si a\in [0;\pi], on a :
\cos(a)>0\Leftrightarrow a\in \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[
et \cos(a)<0\Leftrightarrow a\in \left]\dfrac{\pi}{2};\pi\right].
Ainsi, pour x\in \left[ 0 ; \dfrac{3\pi}{2} \right], on a :
\cos\left(\dfrac{2}{3}x\right)>0\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}x\in \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[
\cos\left(\dfrac{2}{3}x\right)>0\Leftrightarrow 0\leq \dfrac{2}{3}x<\dfrac{\pi}{2}
\cos\left(\dfrac{2}{3}x\right)>0\Leftrightarrow 0\leq x<\dfrac{3\pi}{4}
Par conséquent, on a :
f'(x)>0\Leftrightarrow 0\leq x<\dfrac{3\pi}{4}
et f'(x)<0\Leftrightarrow \dfrac{3\pi}{4}<x\leq \dfrac{3\pi}{2}.
f' est donc positive sur \left[ 0;\dfrac{3\pi}{4} \right] et négative sur \left[ \dfrac{3\pi}{4} ; \dfrac{3\pi}{2} \right].
Quel est le tableau de variations de f sur \left[ -\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2} \right] ?
On peut déjà établir le tableau de variations de f sur \left[ 0 ; \dfrac{3\pi}{2} \right] :
On calcule f(0), f(\dfrac{3\pi}{4}) et f(\dfrac{3\pi}{2}) :
f(0) = \text{sin}(\dfrac{2}{3} \times 0) = \text{sin}(0) = 0
f(\dfrac{3\pi}{4}) = \text{sin}(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3\pi}{4}) = \text{sin}(\dfrac{\pi}{2}) = 1
f(\dfrac{3\pi}{2}) = \text{sin}(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3\pi}{2}) = \text{sin}(\pi) = 0
Or, on sait que f' est positive sur \left[ 0;\dfrac{3\pi}{4} \right] et négative sur \left[ \dfrac{3\pi}{4} ; \dfrac{3\pi}{2} \right].
On peut donc dresser le tableau de variations de f sur \left[ 0 ; \dfrac{3\pi}{2} \right] :

f étant impaire, on peut déduire le tableau de variations sur \left[ -\dfrac{3\pi}{2} ; 0 \right].
On calcule f(-\dfrac{3\pi}{2}) et f(-\dfrac{3\pi}{4}) :
f(-\dfrac{3\pi}{2}) = \text{sin}(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{-3\pi}{2}) = \text{sin}(-\pi) = 0
f(-\dfrac{3\pi}{4}) = \text{sin}(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{-3\pi}{4}) = \text{sin}(-\dfrac{\pi}{2}) = -1
On obtient donc le tableau de variations suivant :
