Résoudre une équation trigonométrique du type cos(x)=y Exercice

On remarque que :
\cos \left(x\right) =-\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos \left(x \right)=\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)

D'après le cours, on sait que :
\cos\left( x\right) =\cos\left(a \right)\Leftrightarrow\begin{cases} x=a+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=-a+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

Ici, en posant a = \dfrac{2\pi}{3}, on obtient :
\cos \left(x\right) =-\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow\begin{cases} x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=-\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

On remarque que :
\cos \left(x\right) =\dfrac{\sqrt2}{2} \Leftrightarrow \cos \left(x \right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)

D'après le cours, on sait que :
\cos\left( x\right) =\cos\left(a \right)\Leftrightarrow\begin{cases} x=a+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=-a+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

Ici, en posant a = \dfrac{\pi}{4}, on obtient :
\cos \left(x\right) =\dfrac{\sqrt2}{2} \Leftrightarrow\begin{cases} x=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

On remarque que :
\cos \left(x\right) =\dfrac{\sqrt3}{2} \Leftrightarrow \cos \left(x \right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)

D'après le cours, on sait que :
\cos\left( x\right) =\cos\left(a \right)\Leftrightarrow\begin{cases} x=a+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=-a+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

Ici, en posant a = \dfrac{\pi}{6}, on obtient :
\cos \left(x\right) =\dfrac{\sqrt3}{2} \Leftrightarrow\begin{cases} x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

On remarque que :
\cos \left(x\right) =\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos \left(x \right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)

D'après le cours, on sait que :
\cos\left( x\right) =\cos\left(a \right)\Leftrightarrow\begin{cases} x=a+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=-a+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

Ici, en posant a = \dfrac{\pi}{3}, on obtient :
\cos \left(x\right) =\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow\begin{cases} x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

On remarque que :
\cos \left(x\right) = -\dfrac{\sqrt3}{2} \Leftrightarrow \cos \left(x \right)=\cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = \cos \left(\dfrac{5\pi}{6} \right)

D'après le cours, on sait que :
\cos\left( x\right) =\cos\left(a \right)\Leftrightarrow\begin{cases} x=a+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=-a+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

Ici, en posant a = \dfrac{5\pi}{6}, on obtient :
\cos \left(x\right) = -\dfrac{\sqrt3}{2} \Leftrightarrow\begin{cases} x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=-\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}