Résoudre une inéquation trigonométrique du type cos(ax+b)y Exercice

On sait que :
\dfrac{1}{2} = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)

Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0\text{ }; 2\pi \right], on représente le cercle trigonométrique renseignant les angles déterminés ci-dessus :

On a ainsi identifié l'ensemble des points du cercle qui sont tels que \cos\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) \geq \dfrac{1}{2}.

Soit k\in\mathbb{Z}.
On a :
\dfrac{-\pi}{3} + 2k\pi \leqslant 2x - \dfrac{\pi}{6}\leqslant\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\\\Leftrightarrow \dfrac{-\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \leqslant 2x \leqslant\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6}+ 2k\pi\\\\\Leftrightarrow \dfrac{-\pi}{6} + 2k\pi \leqslant 2x \leqslant\dfrac{3\pi}{6} + 2k\pi\\\\\Leftrightarrow \dfrac{-\pi}{12} + k\pi \leqslant x \leqslant\dfrac{3\pi}{12} + k\pi\\\\\Leftrightarrow \dfrac{-\pi}{12} + k\pi \leqslant x \leqslant\dfrac{\pi}{4} + k\pi

Pour k=0, on a :
\dfrac{-\pi}{12} \leqslant x \leqslant\dfrac{\pi}{4}

Une autre écriture de \dfrac{-\pi}{12} sur le cercle trigonométrique est \dfrac{23\pi}{12}.

Pour k=1, on a :
\dfrac{11\pi}{12}\leqslant x\leqslant \dfrac{5\pi}{4}\\

On place ces points sur le cercle trigonométrique :

On sait que :
\dfrac{\sqrt 2}{2} = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)

Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0\text{ }; 2\pi \right], on représente le cercle trigonométrique en renseignant les angles déterminés ci-dessus :

On a ainsi identifié l'ensemble des points du cercle qui sont tels que \cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) \geq \dfrac{\sqrt2}{2}.

Soit k\in\mathbb{Z}.
On a :
\dfrac{-\pi}{4} + 2k\pi \leqslant 2x - \dfrac{\pi}{3}\leqslant\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\\\Leftrightarrow \dfrac{-\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \leqslant 2x \leqslant\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3}+ 2k\pi\\\\\Leftrightarrow \dfrac{\pi}{12} + 2k\pi \leqslant 2x \leqslant\dfrac{7\pi}{12} + 2k\pi\\\\\Leftrightarrow \dfrac{\pi}{24} + k\pi \leqslant x \leqslant\dfrac{7\pi}{24} + k\pi\\\\

Pour k=0, on a :
\dfrac{\pi}{24} \leqslant x \leqslant\dfrac{7\pi}{24}

Pour k=1, on a :
\dfrac{25\pi}{24}\leqslant x\leqslant \dfrac{31\pi}{24}\\

On place ces points sur le cercle trigonométrique :

On sait que :
-\dfrac{\sqrt3}{2}= \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)

Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0\text{ }; 2\pi \right] on représente le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :

On a ainsi identifié l'ensemble des points du cercle qui sont tels que \cos\left(2x + \dfrac{\pi}{2}\right) \geq -\dfrac{\sqrt3}{2}.

Soit k\in\mathbb{Z}.
On a :
\dfrac{-5\pi}{6} + 2k\pi \leqslant 2x + \dfrac{\pi}{2}\leqslant\dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\\\Leftrightarrow \dfrac{-5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \leqslant 2x \leqslant\dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{2}+ 2k\pi\\\\\Leftrightarrow \dfrac{-8\pi}{6} + 2k\pi \leqslant 2x \leqslant\dfrac{2\pi}{6} + 2k\pi\\\\\Leftrightarrow \dfrac{-8\pi}{12} + k\pi \leqslant x \leqslant\dfrac{2\pi}{12} + k\pi\\\\\Leftrightarrow \dfrac{-2\pi}{3} + k\pi \leqslant x \leqslant\dfrac{\pi}{6} + k\pi

Pour k=0, on a :
\dfrac{-2\pi}{3} \leqslant x \leqslant\dfrac{\pi}{6}

Une autre manière d'écrire \dfrac{-2\pi}{3} sur le cercle trigonométrique est \dfrac{4\pi}{3}.

Pour k=1, on a :
\dfrac{\pi}{3}\leqslant x\leqslant \dfrac{7\pi}{6}\\

 Pour k=2, on a :
\dfrac{4\pi}{3}\leqslant x\leqslant 2\pi\\

On place ces points sur le cercle trigonométrique :

On sait que :
-\dfrac{1}{2}= \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)

Une autre manière d'écrire \dfrac{-2\pi}{3} sur le cercle trigonométrique est \dfrac{4\pi}{3}. 

Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0\text{ }; 2\pi \right] on représente le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :

On a ainsi identifié l'ensemble des points du cercle qui correspondent au réel x tels que \cos\left(2x +\dfrac{\pi}{4}\right) \lt -\dfrac{1}{2}.

Soit k\in\mathbb{Z}.
On a :
\dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi \gt 2x + \dfrac{\pi}{4} \gt \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\\\Leftrightarrow \dfrac{4\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \gt 2x \gt \dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}+ 2k\pi\\\\\Leftrightarrow \dfrac{13\pi}{12} + 2k\pi \gt 2x \gt \dfrac{5\pi}{12} + 2k\pi\\\\\Leftrightarrow \dfrac{13\pi}{24} + k\pi \gt x \gt \dfrac{5\pi}{24} + k\pi\\\\

Pour k=0, on a :
\dfrac{13\pi}{24} \gt x \gt\dfrac{5\pi}{24}

Pour k=1, on a :
\dfrac{37\pi}{24}\gt x\gt \dfrac{29\pi}{24}\\

On place ces points sur le cercle trigonométrique :

On sait que :
\dfrac{\sqrt 3}{2} = \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)

Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0\text{ }; 2\pi \right] on représente le cercle trigonométrique en renseignant les angles déterminés ci-dessus :

On a ainsi identifié l'ensemble des points du cercle qui sont tels que \cos\left(3x - \dfrac{\pi}{6}\right) \leq \dfrac{\sqrt3}{2}.

Soit k\in\mathbb{Z}.
On a :
\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \leqslant 3x - \dfrac{\pi}{6}\leqslant\dfrac{11\pi}{6} + 2k\pi\\\Leftrightarrow \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \leqslant 3x \leqslant\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{11\pi}{6}+ 2k\pi\\\\\Leftrightarrow \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \leqslant 3x \leqslant2\pi + 2k\pi\\\\\Leftrightarrow \dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3} \leqslant x \leqslant\dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{2k\pi}{3}\\\\

Pour k=0, on a :
\dfrac{\pi}{9} \leqslant x \leqslant\dfrac{2\pi}{3}

Pour k=1, on a :
\dfrac{7\pi}{9}\leqslant x\leqslant \dfrac{4\pi}{3}\\

 Pour k=2, on a :
\dfrac{13\pi}{9}\leqslant x\leqslant 2\pi\\

On place ces points sur le cercle trigonométrique :