Résoudre les inéquations trigonométriques suivantes.
Déterminer l'ensemble S des solutions de l'inéquation :
\sin \left(x\right) \leq \dfrac{\sqrt2}{2} dans \left[ 0 ; 2\pi \right]
On sait que :
\dfrac{\sqrt2}{2} = \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sin \left(\pi -\dfrac{\pi}{4}\right) =\sin \left(\dfrac{3\pi}{4}\right)
Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi\right], on trace le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :
On obtient ainsi l'ensemble des points qui correspondent aux réels x tels que \sin \left(x\right) \leq \dfrac{\sqrt2}{2}.
Afin de déterminer les solutions sur \left[ 0; 2\pi \right] :
- on part de 0 qui appartient à l'ensemble des solutions ;
- on va jusqu'en \dfrac{\pi}{4} ;
- on repart de \dfrac{3\pi}{4} ;
- on va jusqu'en 2 \pi.
L'ensemble des solutions S de l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi \right] est donc :
S = \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{4} \right] \cup \left[ \dfrac{3\pi}{4} ;2\pi \right]
Déterminer l'ensemble S des solutions de l'inéquation :
\sin \left(x\right) \geq \dfrac{1}{2} dans \left[ 0 ; 2\pi \right]
On sait que :
\dfrac{1}{2} = \sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \sin \left(\pi -\dfrac{\pi}{6}\right) =\sin \left(\dfrac{5\pi}{6}\right)
Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi\right], on trace le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :
On obtient ainsi l'ensemble des points qui correspondent aux réels x tels que \sin \left(x\right) \geq \dfrac{1}{2}.
Afin de déterminer les solutions sur \left[ 0; 2\pi \right] :
- on part de \dfrac{\pi}{6} qui appartient à l'ensemble des solutions ;
- on va jusqu'en \dfrac{5\pi}{6}, dernière solution de l'inéquation.
L'ensemble des solutions S de l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi \right] est donc :
S = \left[ \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{5\pi}{6}\right]
Déterminer l'ensemble S des solutions de l'inéquation :
\sin \left(x\right) \lt -\dfrac{1}{2} dans \left[ 0 ; 2\pi \right]
On sait que :
-\dfrac{1}{2}= \sin \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \sin \left(\pi -\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right) =\sin \left(\dfrac{7\pi}{6}\right)
Et que :
-\dfrac{\pi}{6} et \dfrac{11\pi}{6} représentent le même angle.
Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi\right], on trace le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :
On obtient ainsi l'ensemble des points qui correspondent aux réels x tels que \sin \left(x\right) \lt -\dfrac{1}{2}.
Afin de déterminer les solutions sur \left[ 0; 2\pi \right] :
- on part de \dfrac{7\pi}{6} en excluant cette valeur ;
- on va jusqu'en \dfrac{11\pi}{6} en excluant cette valeur.
L'ensemble des solutions S de l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi \right] est donc :
S = \left] \dfrac{7\pi}{6} ; \dfrac{11\pi}{6}\right[
Déterminer l'ensemble S des solutions de l'inéquation :
\sin \left(x\right) \leq -\dfrac{\sqrt 2}{2} dans \left[ 0 ; 2\pi \right]
On sait que :
-\dfrac{\sqrt 2}{2}= \sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \sin \left(\pi -\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right) =\sin \left(\dfrac{5\pi}{4}\right)
Et que :
-\dfrac{\pi}{4} et \dfrac{7\pi}{4} représentent le même angle.
Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi\right], on trace le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :
On obtient ainsi l'ensemble des points qui correspondent aux réels x tels que \sin \left(x\right) \leq-\dfrac{\sqrt 2}{2}.
Afin de déterminer les solutions sur \left[ 0; 2\pi \right] :
- on part de \dfrac{5\pi}{4} ;
- on va jusqu'en \dfrac{7\pi}{4}.
L'ensemble des solutions S de l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi \right] est donc :
S = \left[ \dfrac{5\pi}{4} ; \dfrac{7\pi}{4}\right]
Déterminer l'ensemble S des solutions de l'inéquation :
\sin \left(x\right) \leq \dfrac{\sqrt 3 }{2} dans \left[ 0 ; 2\pi \right]
On sait que :
\dfrac{\sqrt3 }{2} = \sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sin \left(\pi -\dfrac{\pi}{3}\right) =\sin \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)
Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi\right], on trace le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :
On obtient ainsi l'ensemble des points qui correspondent aux réels x tels que \sin \left(x\right) \leq \dfrac{\sqrt 3 }{2}.
Afin de déterminer les solutions sur \left[ 0; 2\pi \right] :
- on part de 0 qui appartient à l'ensemble des solutions ;
- on va jusqu'en \dfrac{\pi}{3} ;
- on repart de \dfrac{2\pi}{3} ;
- on va jusqu'en 2 \pi.
L'ensemble des solutions S de l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi \right] est donc :
S = \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{3} \right] \cup \left[ \dfrac{2\pi}{3} ;2\pi \right]