Dans cet exercice on considère la fonction définie par :
f(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}
Quel est l'ensemble de définition de f ?
La fonction f est définie comme un quotient de fonctions définies sur \mathbb{R}. En effet, les fonctions trigonométriques x\mapsto \cos(x) et x \mapsto \sin(x) sont définies sur \mathbb{R}.
Pour que f soit définie, son dénominateur doit être différent de 0 :
\cos(x)=0\Leftrightarrow x = k\dfrac{\pi}{2} ; k \in \mathbb{Z}
Ainsi, l'ensemble de définition de la fonction f est :
D = \mathbb{R} \backslash \left \{k\dfrac{\pi}{2} \: ; \: k \in \mathbb{Z} \right \}
Que peut-on dire de la parité de la fonction f ?
Les deux propriétés du cours à connaître sont :
- La fonction f est paire si et seulement si pour tout x de son ensemble de définition, -x appartient à l'ensemble de définition et f(x)=f(-x).
- La fonction f est impaire si et seulement si pour tout x de son ensemble de définition, -x appartient à l'ensemble de définition et f(x)=-f(-x).
Soit x\in D.
On a bien -x \in D.
On exprime alors f(-x).
f(-x) = \dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)}
D'après le cours sur les fonctions trigonométriques :
\sin(-x) = -\sin(x)
\cos(-x) = \cos(x)
(On peut aussi retrouver ces expressions grâce au cercle trigonométrique.)
Ainsi :
f(-x) = \dfrac{-\sin(x)}{\cos(x) } = -\dfrac{\sin(x) }{\cos(x)} = -f(x)
La fonction f est donc impaire.
Que peut-on dire de la périodicité de la fonction f ?
D'après le cours, une fonction est dite apériodique si, pour tout x de son ensemble de définition, x+a appartient à l'ensemble de définition et f(x)= f(x+a).
De plus, les fonctions trigonométriques x \mapsto \cos(x) et x \mapsto \sin(x) sont 2\pi-périodiques.
Soit x\in D.
On a (x+2\pi)\in D et f(x+2\pi) = \dfrac{\sin(x+2\pi)}{\cos(x+2\pi)} = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}= f(x) .
Finalement, la fonction f est 2\pi-périodique.
On doit tout de même vérifier les autres propositions.
Soit x\in D.
On a (x+\pi)\in D et f(x+\pi) = \dfrac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)} = \dfrac{-\sin(x)}{-\cos(x)}=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}= f(x) .
Finalement, la fonction f est \pi-périodique.
Soit x\in D.
On a \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\in D et f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)}{\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)} = \dfrac{\cos(x)}{-\sin(x)}\neq f(x) .
La fonction f est donc \pi-périodique.
Que peut-on dire du signe de f sur ]0; \pi] ?
D'après le cours sur les fonctions trigonométriques (ou du cercle trigonométrique), on a :
- \cos(x) est positive sur \left]0; \dfrac{\pi}{2}\right[ et négative sur \left] \dfrac{\pi}{2}; \pi\right] .
- \sin(x) est positive sur ]0;\pi].
D'après ces informations, on peut déduire le signe de f.
Ainsi, f(x) est positive sur \left]0; \dfrac{\pi}{2}\right[ et négative sur \left] \dfrac{\pi}{2}; \pi\right] .
Par déduction des trois questions précédentes, quel est le signe de f sur D ?
Tout d'abord on a démontré dans la question 3 que la fonction f est \pi-périodique.
D'après la question 4, f(x) est positive sur \left]0; \dfrac{\pi}{2}\right] et négative sur \left[ \dfrac{\pi}{2}; \pi\right] .
On en déduit donc :
- f(x) est positive sur \left]0+k\pi; \dfrac{\pi}{2}+k\pi \right] .
- f(x) est négative sur \left[ \dfrac{\pi}{2}+k\pi; \pi+k\pi \right] .
k\in \mathbb{Z}