Résoudre une équation trigonométrique du type sin(x)=y Exercice

On remarque que :
\sin \left(x\right) =-\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left(x \right)=\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)

D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

Ici, en posant a = x et b = -\dfrac{\pi}{6}, on obtient :
\sin \left(x\right) =-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\begin{cases} x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\pi-\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

\begin{cases} x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

On remarque que :
\sin \left(x\right) =-\dfrac{\sqrt3}{2} \Leftrightarrow \sin \left(x \right)=\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)

D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

Ici, en posant a = x et b = -\dfrac{\pi}{3}, on obtient :
\sin \left(x\right) =-\dfrac{\sqrt3}{2}\Leftrightarrow\begin{cases} x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\pi-\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

\begin{cases} x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{4\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

On remarque que :
\sin \left(x\right) =\dfrac{\sqrt2}{2} \Leftrightarrow \sin \left(x \right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)

D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

Ici, en posant a = x et b = \dfrac{\pi}{4}, on obtient :
\sin \left(x\right) =\dfrac{\sqrt2}{2}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\pi-\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

\begin{cases} x=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

On remarque que :
\sin \left(x\right) = -\dfrac{\sqrt2}{2} \Leftrightarrow \sin \left(x \right)=\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)

D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

Ici, en posant a = x et b = \dfrac{\pi}{4}, on obtient :
\sin \left(x\right) = -\dfrac{\sqrt2}{2}\Leftrightarrow\begin{cases} x= -\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\pi-\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

\begin{cases} x=-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{5\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

On remarque que :
\sin \left(x\right) =0 \Leftrightarrow \sin \left(x \right)=\sin\left(0\right)

D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

Ici, en posant a = x et b = 0, on obtient :
\sin \left(x\right) =0\Leftrightarrow\begin{cases} x=0+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\pi-0+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

\begin{cases} x=0+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\pi+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

Ce qui correspond à x = \pi + k \pi avec k un entier relatif quelconque.