On considère les suites définies pour tout n \in \mathbb{N} par :
- u_n = 2\times0{,}3^n
- v_n = -1 \times (-0{,}6)^n
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n\rightarrow + \infty} (3u_n-v_n) ?
On remarque que :
- u est une suite géométrique de raison q=0{,}3 et de premier terme u_0 = 2. D'après le cours, une suite géométrique de raison vérifiant -1<q<1 converge vers 0. Donc \lim\limits_{n\rightarrow + \infty} u_n = 0.
- v est une suite géométrique de raison q=-0{,}6 et de premier terme u_0 = -1. D'après le cours, une suite géométrique de raison vérifiant -1<q<1 converge vers 0. Donc \lim\limits_{n\rightarrow + \infty} v_n = 0.
Par opérations (multiplication par une constante et somme de suites convergeant vers 0), on a finalement :
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (3u_n-v_n) = 0
On considère les suites définies pour tout n \in \mathbb{N} par :
- u_n = -2\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n
- v_n = 3 \times \left(\dfrac{-1}{3}\right)^n
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n\rightarrow + \infty} (u_n-2v_n) ?
On remarque que :
- u est une suite géométrique de raison q=\dfrac{2}{3} et de premier terme u_0 = -2. D'après le cours, une suite géométrique de raison vérifiant -1<q<1 converge vers 0. Donc \lim\limits_{n\rightarrow + \infty} u_n = 0.
- v est une suite géométrique de raison q=-\dfrac{1}{3} et de premier terme u_0 = 3. D'après le cours, une suite géométrique de raison vérifiant -1<q<1 converge vers 0. Donc \lim\limits_{n\rightarrow + \infty} v_n = 0.
Par opérations (multiplication par une constante et somme de suites convergeant vers 0), on a finalement :
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (u_n-2v_n) = 0
On considère les suites définies pour tout n \in \mathbb{N} par :
- u_n = 2\times \left(\dfrac{4}{5}\right)^n
- v_n = 3 \times 2^n
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n\rightarrow + \infty} (2u_n+v_n) ?
On remarque que :
- u est une suite géométrique de raison q=\dfrac{4}{5} et de premier terme u_0 = 2. D'après le cours, une suite géométrique de raison vérifiant -1<q<1 converge vers 0. Donc \lim\limits_{n\rightarrow + \infty} u_n = 0.
- v est une suite géométrique de raison q=2 et de premier terme v_0 = 3. D'après le cours, une suite géométrique de raison vérifiant q>1 diverge vers \pm \infty. Le signe est à déterminer en fonction de v_0. Ici, comme v_0>0, on a : \lim\limits_{n\rightarrow + \infty} v_n = +\infty.
Par opérations (multiplication par une constante et somme d'une suite convergeant vers 0 et d'une suite divergeant vers +\infty), on a finalement :
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (2u_n+v_n) = +\infty
On considère les suites définies pour tout n \in \mathbb{N} par :
- u_n = -2\times 3^n
- v_n = 5^n
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n\rightarrow + \infty} (u_n-v_n) ?
On remarque que :
- u est une suite géométrique de raison q=3 et de premier terme u_0 = -2. D'après le cours, une suite géométrique de raison vérifiant q>1 diverge vers \pm \infty. Le signe est à déterminer en fonction de u_0. Ici, commeu_0<0, on a : \lim\limits_{n\rightarrow + \infty} u_n = -\infty.
- v est une suite géométrique de raison q=5 et de premier terme v_0 = 1. D'après le cours, une suite géométrique de raison vérifiant q>1 diverge vers \pm \infty. Le signe est à déterminer en fonction de v_0. Ici, comme v_0>0, on a : \lim\limits_{n\rightarrow + \infty} v_n = +\infty.
En multipliant la suite v par -1, on obtient alors :
\lim\limits_{n\rightarrow +infty} -v_n = -\infty
Par somme de deux suites divergeant vers -\infty, on a :
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (u_n-v_n) = -\infty
On considère les suites définies pour tout n \in \mathbb{N} par :
- u_n = \dfrac{1}{2}\times \left( \dfrac{1}{3}\right)^n
- v_n = (-2)^n
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n\rightarrow + \infty} (u_n-2v_n) ?
On remarque que :
- u est une suite géométrique de raison q=\dfrac{1}{3} et de premier terme u_0 = \dfrac{1}{2}. D'après le cours, une suite géométrique de raison vérifiant -1<q<1 converge vers 0. Donc \lim\limits_{n\rightarrow + \infty} u_n = 0.
- v est une suite géométrique de raison q=-2 et de premier terme v_0 = 1. D'après le cours, une suite géométrique de raison vérifiant q<1 diverge et n'admet pas de limite en +\infty.
En multipliant la suite v par -2, on a toujours : la suite -2v_n n'admet pas de limite en +\infty.
Ainsi, par somme d'une suite n'admettant pas de limite et d'une suite convergeant vers 0, la suite de terme général u_n-2v_n n'admet pas de limite en +\infty.