Dans cet exercice, on s'intéresse à la suite (u_{n}) définie, pour tout entier n, par :
\left \{ \begin{array}{rcl} u_0=650 \\ u_{n+1}=1.02u_n+125\end{array} \right.
Quels sont les 5 premiers termes de la suite (u_{n}) ?
Afin de calculer les termes de la suite, on fonctionne de manière itérative :
- u_0=650 d'après l'énoncé
- u_1=\text{1{,}02}u_0+125=788
- u_2=\text{1{,}02}u_1+125=\text{928{,}76}
- u_3=\text{1{,}02}u_2+125=\text{1 072{,}34}
- u_4=\text{1{,}02}u_3+125=\text{1 218{,}78}
- u_5=\text{1{,}02}u_4+125=\text{1 368{,}158}
Les 5 premiers termes de la suite (u_{n}) sont donc :
- u_0=650
- u_1=788
- u_2=\text{928{,}76}
- u_3=\text{1 072{,}34}
- u_4=\text{1 218{,}78}
- u_5=\text{1 368{,}158}
Quelle fonction Python permet de calculer l'indice n de la suite (u_{n}) ?
Pour écrire une fonction calculant les termes successifs d'une suite, il faut procéder de la sorte :
- initialisation des variables u et n ;
- boucle « tant que » qui à chaque itération calcule la nouvelle valeur de u et augmente la valeur de n.
Cela donne donc l'algorithme suivant :
def u(N) :
u, n =650, 0 #initialisation des variables : u représente la valeur de u(0) et n l'étape de calcul à laquelle nous sommes
while n<N :
n=n+1 #on rajoute une itération
u=1.02u+125 #on calcule la nouvelle valeur de u en fonction de l'ancienne valeur
return n
Un couple dispose au mois 0 d'un montant de 650 euros qu'il place à un taux mensuel de 2 %.
Chaque mois, il place 125 euros en plus dans ce placement à 2 %.
Combien de mois le couple devra-t-il attendre pour obtenir 10 000 euros grâce à son placement ?
Les revenus du couple peuvent être modélisés par la suite (u_{n}) étudiée auparavant.
Ici, l'idée est de trouver le premier mois à partir duquel la valeur de la suite (u_{n}) aura une valeur supérieure à 10 000.
Ainsi, on cherche : le premier n tel que u_n \geq 10\ 000 .
On peut utiliser la même structure de programme qu'à la question précédente, car celui-ci permettait de calculer les valeurs successives de la suite (u_{n}). Il suffit de changer la condition dans le while afin de s'assurer que l'on obtient le premier mois à partir duquel la valeur du placement dépasse les 10 000 euros. Il ne faut pas oublier de renvoyer en sortie d'algorithme le nombre de mois et non la valeur de u qui devrait être proche de 10 000.
def recherche_seuil() :
u,n=650, 0 #initialisation des variables
while u<10 000 :
n=n+1 #calcul pour un nouveau mois
u=1.02*u+125 #calcul de la nouvelle valeur de u en fonction de l'ancienne
return n #renvoie le nombre d'itérations, c'est-à-dire le nombre de mois.
Avec cet algorithme, on trouve donc qu'il faut donc 44 mois au couple pour que son placement atteigne 10 000 euros.