On considère un réel a>0.
Quelle conjecture peut-on émettre sur le signe de la comparaison entre (1+a)^n et 1+na pour tout entier naturel n ?
Pour émettre une conjecture quant au signe d'une inéquation contenant des entiers naturels n on peut fixer n et étudier les expressions.
- Pour n=0 :
(1+a)^n = (1+a)^0 = 1
1+na = 1
Ainsi : (1+a)^n = 1 +na pour n=0.
- Pour n=1 :
(1+a)^n = 1+a
1+na = 1+ a
Ainsi : (1+a)^n = 1 +na pour n=1.
- Pour n=2
(1+a)^2=1+2a+a^2
(1+na = 1+2a < 1+2a+a^2 car a^2 >0.
Ainsi : (1+a)^n > 1 +na pour n=2.
On peut donc conjecturer : (1+a)^n \geq 1+na .
On considère un réel a>0.
Quel raisonnement peut-on utiliser pour prouver la conjecture émise à la question précédente ?
Pour démontrer des propriétés impliquant des entiers naturels, il est souvent pratique d'utiliser des raisonnements par récurrence.
On peut donc utiliser un raisonnement par récurrence.
On considère un réel a>0.
Vrai ou faux ? (1+a)^n \geq 1+na pour tout entier naturel n.
On utilise un raisonnement par récurrence avec comme hypothèse de récurrence : 1+a)^n \geq 1+na .
Initialisation :
D'après la question 1, l'hypothèse de récurrence est vraie au rang n=0 car (1+a)^n=1+na pour n=0.
Hérédité :
On suppose que l'hypothèse au rang n est vraie, c'est-à-dire que : (1+a)^n \geq 1+na . On démontre que, dans ce cas, l'hypothèse est vraie au rangn+1.
D'après l'hypothèse de récurrence :
(1+a)^n \geq 1+na
On peut multiplier par 1+a sans changer le sens de l'inéquation car a>0 :
(1+a)(1+a)^n \geq (1+na)(1+a)
\Leftrightarrow (1+a)^{n+1} \geq 1 + na + a + na^2
\Leftrightarrow (1+a)^{n+1} \geq 1+a(n+1) +na^2
Or, comme a>0 on a a^2 >0 et ainsi 1+a(n+1) +na^2 \geq 1+a(n+1) .
On en déduit que :
(1+a)^{n+1} \geq 1+a(n+1)
L'hypothèse est donc vraie au rang n+1.
Conclusion :
L'hypothèse de récurrence (1+a)^n \geq 1+na est vraie au rang 0 et est héréditaire, donc elle est vrai pour tout n \in \mathbb{N} par le principe de récurrence.
Ainsi, (1+a)^n \geq 1+na pour tout entier naturel n.