Etudier la convergence d'une suite à l'aide du théorème des gendarmes et du raisonnement par récurrence Problème

Pour prouver que le nombre 4 est un minorant de u_n on va procéder par récurrence.

Initialisation :
Pour n=0 on a :
u_0=8\geq4

Donc l'hypothèse est prouvée pour n=0.

Hérédité :
On suppose u_n\geq 4.
\Leftrightarrow u_n +12 \geq 16 > 0
\Leftrightarrow \sqrt{u_n+12} \geq 4 (Par croissance de la fonction racine)
Finalement, on a bien u_{n+1} \geq 4 .

L'hypothèse est prouvée au rang n+1.

L'hypothèse u_n\geq 4 est vraie pour n=0 et est héréditaire, donc elle est vraie pour tout n \in \mathbb{N}.

On sait que :
u_{n+1} -4 = \sqrt{u_n+12}-4.

Puis, en utilisant une quantité conjuguée pour éliminer la racine carrée au numérateur :
u_{n+1} =\dfrac{ (\sqrt{u_n+12} -4)(\sqrt{u_n+12}+4)}{\sqrt{u_n+12}+4} = \dfrac{u_n+12-16}{\sqrt{u_n+12}+4}

Or, d'après la question précédente :
u_n\geq 4 \Leftrightarrow \sqrt{u_n+12}+4 \geq 8 > 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{u_n+12}+4} \leq \dfrac{1}{8}

Donc :
u_{n+1}-4 \leq \dfrac{u_n-4}{8} \leq \dfrac{u_n-4}{4}

D'après la question précédente, on a pour tout n entier naturel :
u_{n+1} \leq \dfrac{u_n-4}{4}

Donc, en substituant n+1 par n :
u_n \leq \dfrac{u_{n-1}-4}{4}

Par conséquent :
u_{n+1} \leq \dfrac{1}{4}\times (u_n-4) \leq \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} \times (u_{n-1} -4) = \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 \times (u_{n-1} -4)

D'après la question 3, on a :
u_{n} -4 \leq \left( \dfrac{1}{4}\right)^{n-2} \Leftrightarrow u_n \leq \left( \dfrac{1}{4}\right)^{n-2} +4

D'après la question 1 :
u_n\geq 4

Donc en reprenant ces deux inéquations, on a pour tout n :
4\leq u_n \leq \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-2} +4

Or, comme 0\leq\dfrac{1}{4} < 1 , on a :
\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-2} +4 = 4