Peut-on affirmer que 3^n \geq 1+2n pour tout n \geq 0 ?
Pour démontrer une inégalité, on peut utiliser un raisonnement par récurrence.
Pour tout entier naturel n, on note \mathcal{P}_n la proposition :
3^n\geq 1+2n
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :
On a 3^0=1, 1+2\times 0=1 et 1\geq 1.
\mathcal{P}_0 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel n :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie
Soit n un entier naturel quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire 3^n\geq 1+2n.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire 3^{n+1}\geq 1+2(n+1) ou encore 3^{n+1}\geq 3+2n.
On a :
3^{n+1}=3\times 3^n
Par hypothèse de récurrence, on a :
3^n\geq 1+2n
On en déduit :
3^{n+1}\geq 3\times \left(1+2n\right)
3^{n+1}\geq 3+6n\geq 3+2n
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.
On peut donc affirmer que 3^n \geq 1+2n pour tout n \geq 0 .
On rappelle que n! = 1 \times 2 \times ... \times (n-1) \times n.
Peut-on affirmer que 3^n \leq n! pour tout n \geq 7 ?
Pour démontrer une inégalité on peut utiliser un raisonnement par récurrence.
Pour tout entier naturel n\geq 7, on note \mathcal{P}_n la proposition :
3^n\leq n!
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n\geq 7.
Initialisation :
On a 3^7=2187, 7!=5040 et 2187\leq 5040.
\mathcal{P}_7 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel n\geq 7 :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie
Soit n un entier naturel quelconque supérieur ou égal à 7.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire 3^n\leq n!.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire 3^{n+1}\leq (n+1)!.
On a :
3^{n+1}=3\times 3^n
Par hypothèse de récurrence, on a :
3^n\leq n!
On en déduit :
3^{n+1}\leq 3\times n!\leq (n+1)\times n! car 8\leq (n+1)
Ainsi, on obtient :
3^{n+1}\leq (n+1)!
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 7 et héréditaire à partir du rang 7, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.
On peut donc affirmer que 3^n \leq n! pour tout n \geq 7 .
On définit la suite u de la façon suivante :
\begin{cases}u_0=5\\u_{n+1} = \dfrac{1}{5}u_n +3\end{cases}
Quel est le sens de variation de la suite u ?
u_0=5 et u_1=\dfrac{1}{5}u_0+3=\dfrac{1}{5}\times 5+3=4
u_0\geq u_1
On peut donc penser que la suite est décroissante, c'est-à-dire u_{n+1}\leq u_n pour tout entier naturel n.
Pour démontrer une inégalité on peut utiliser un raisonnement par récurrence.
Pour tout entier naturel n, on note \mathcal{P}_n la proposition :
u_{n+1}\leq u_n
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :
On a u_0=5, u_1=4 et 4\leq 5.
\mathcal{P}_0 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel n :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie
Soit n un entier naturel quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire u_{n+1}\leq u_n.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire u_{n+2}\leq u_{n+1}.
Par hypothèse de récurrence, on a :
u_{n+1}\leq u_n
Or, la fonction f:x\mapsto \dfrac{1}{5}x+3 est strictement croissante sur \mathbb{R}.
On en déduit :
\dfrac{1}{5}u_{n+1}+3\leq \dfrac{1}{5}u_n+3
Soit :
u_{n+2}\leq u_{n+1}
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.
La suite (u) est donc décroissante.
On définit la suite u de la façon suivante :
\begin{cases}u_0=2\\u_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_n +\dfrac{1}{3}n+1\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}
Peut-on affirmer que u_n \leq n+3 pour tout n \geq 0 ?
Pour démontrer une inégalité on peut utiliser un raisonnement par récurrence.
Pour tout entier naturel n, on note \mathcal{P}_n la proposition :
u_{n}\leq n+3
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :
On a u_0=2, 0+3=3 et 2\leq 3.
\mathcal{P}_0 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel n :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie
Soit n un entier naturel quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire u_n\leq n+3.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire u_{n+1}\leq n+4.
On a :
u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1
Par hypothèse de récurrence, on a :
u_{n}\leq n+3
On en déduit successivement :
\dfrac{2}{3}u_{n}\leq \dfrac{2}{3}(n+3)
\dfrac{2}{3}u_{n}+\dfrac{1}{3}n+1\leq \dfrac{2}{3}(n+3)+\dfrac{1}{3}n+1
\dfrac{2}{3}u_{n}+\dfrac{1}{3}n+1\leq \dfrac{2}{3}n+2+\dfrac{1}{3}n+1
Soit :
u_{n+1}\leq n+3\leq n+4
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.
On peut donc affirmer que u_n \leq n+3 pour tout n \geq 0.
On définit la suite u de la façon suivante :
\begin{cases}u_0=2\\u_{n+1} = \dfrac{1}{5}u_n +3\times 0.5^n\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}
Peut-on affirmer que u_n \geq \dfrac{15}{4}\times 0.5^n pour tout n \geq 1 ?
Pour démontrer une inégalité on peut utiliser un raisonnement par récurrence.
Pour tout entier naturel n, on note \mathcal{P}_n la proposition :
u_{n}\geq \dfrac{15}{4}\times 0{,}5^n
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :
On a u_1=\dfrac{1}{5}u_0+3\times 0{,}5^0=\dfrac{2}{5}+3=\dfrac{17}{5}=\dfrac{136}{40}, \dfrac{15}{4}\times 0{,}5^1=\dfrac{15}{8}=\dfrac{75}{40} et \dfrac{136}{40}\geq \dfrac{75}{40}.
\mathcal{P}_1 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel n\geq 1 :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie
Soit n un entier naturel non nul quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire u_n\geq \dfrac{15}{4}\times 0{,}5^n.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire u_{n+1}\geq \dfrac{15}{4}\times 0{,}5^{n+1} ou encore u_{n+1}\geq \dfrac{15}{8}\times 0{,}5^n.
On a :
u_{n+1}=\dfrac{1}{5}u_n+3\times 0{,}5^n
Par hypothèse de récurrence, on a :
u_{n}\geq \dfrac{15}{4}\times 0{,}5^n
On en déduit successivement :
\dfrac{1}{5}u_{n}\geq \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{15}{4}\times 0{,}5^n\right)
\dfrac{1}{5}u_{n}+3\times 0{,}5^n\geq \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{15}{4}\times 0{,}5^n\right)+3\times 0{,}5^n
Soit :
u_{n+1}\geq \dfrac{3}{4}\times 0{,}5^n+3\times 0{,}5^n
u_{n+1}\geq \left(\dfrac{3}{4}+3\right)\times 0{,}5^n
u_{n+1}\geq \dfrac{15}{4}\times 0{,}5^n\geq \dfrac{15}{8}\times 0{,}5^n
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 1 et héréditaire à partir du rang 1, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.
On peut donc affirmer que u_{n} \geq \dfrac{15}{4} (0{,}5)^{n} pour tout n \geq 1 .