On considère la suite v_n définie pour tout n\in \mathbb{N} par :
v_0=1
v_n=3v_{n-1}-2n+6
Quelles sont les valeurs de v_1, v_2 et v_3 ?
On peut directement appliquer la formule donnée dans l'énoncé afin de trouver les valeurs de v_1, v_2 et v_3 :
v_1=3v_0-2\times1+6=7
v_2=3v_1-2\times2+6=3\times7+2=23
v_3=3v_2-2\times3+6=3\times23 = 69
Les valeurs de v_1, v_2 et v_3 sont donc :
v_1=7
v_2=23
v_3=69
Quelle est la nature de la suite v_n ?
Il existe deux sortes de suites dont la nature est remarquable :
- les suites arithmétiques ;
- les suites géométriques.
La suite v_n est-elle arithmétique ?
Une suite arithmétique est une suite de la forme v_{n+1} = v_n +r .
Ainsi le rapport v_{n+1}-v_n est constant pour les suites arithmétiques.
Ici : v_1-v_0=5 et v_2-v_1=16.
Donc le rapport v_{n+1}-v_n n'est pas constant.
La suite v_n n'est donc pas arithmétique.
La suite v_n est-elle géométrique ?
Une suite géométrique est une suite de la forme v_{n+1} = q \times v_n.
Ainsi, le rapport \dfrac{v_{n+1}}{v_n} est constant pour les suites géométriques.
Ici : \dfrac{v_1}{v_0}=7 et \dfrac{v_2}{v_1}=\dfrac{23}{7} \ne 7.
Donc le rapport \dfrac{v_{n+1}}{v_n} n'est pas constant.
La suite v_n n'est donc pas géométrique.
La suite v_n n'a donc pas de nature remarquable.
Que peut-on dire de la comparaison de v_n avec n pour tout n\in \mathbb{R} ?
D'après les valeurs calculées à la question 1, on a pour n\in {0;1;2;3} :
v_n \geq n
On montre donc par récurrence la proposition suivante :
v_n \geq n
Initialisation : L'initialisation est évidente car v_0=1.
Hérédité : On suppose que v_n \geq n .
v_{n+1}=3v_n-2(n+1)+6 \geq 3n-2n -2 +6 = n+4 \geq n+1 (En utilisant l'hypothèse de récurrence)
On a donc bien l'hypothèse prouvée au rang n+1.
L'hypothèse est héréditaire.
L'hypothèse v_n \geq n est vraie au rang 0 et est héréditaire, donc elle est vraie pour tout n \in \mathbb{N} .
Pour tout n \in \mathbb{R}, on a donc v_n \geq n .
Quelle est la limite de la suite v_n ?
D'après la question précédente, on a pour tout n \in \mathbb{R} :
v_n \geq n
Or, on sait que :
\lim\limits_{n \to + \infty} n = +\infty
D'après le théorème de comparaison, on a donc : \lim\limits_{n \to + \infty} v_n = +\infty .