On se propose dans cet exercice de démontrer les limites de la fonction exponentielle.
Quel est le sens de variation sur \mathbb{R} de la fonction f définie par f(x) = \exp(x) - x ?
Pour trouver le sens de variation d'une fonction on étudie le signe de sa dérivée.
f est définie en tant que somme de fonctions dérivables sur \mathbb{R} donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
On a :
f'(x) = \exp(x) -1
On étudie le signe de f' :
f'(x) > 0 \Leftrightarrow \exp(x) > 1 \Leftrightarrow x > 0 en appliquant la fonction logarithme neperien croissante sur \mathbb{R}_+^* .
Ainsi, f' est positive sur \mathbb{R}_+^* et négative sur \mathbb{R}_-.
f est donc croissante sur \mathbb{R}_+^* et décroissante sur \mathbb{R}_-.
Quel est le signe de la fonction f sur \mathbb{R} ?
D'après la question précédente, f est croissante sur \mathbb{R}_+^* et décroissante sur \mathbb{R}_-.
Donc f admet un minimum global au point d'abscisse 0.
On calcule la valeur de ce minimum :
f(0) = exp(0) - 0 = 1
Ainsi, pour tout x \in \mathbb{R} :
f(x) \geq f(0) \Leftrightarrow f(x) \geq 1 > 0
f est donc strictement positive sur \mathbb{R} .
Quelle est la limite de la fonction exponentielle en +\infty ?
D'après la question précédente, f(x) > 0 \Leftrightarrow \exp(x) > x .
Or, on sait que :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty } x = +\infty
D'après le théorème de comparaison des limites à l'infini, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \exp(x) = +\infty
On se propose maintenant d'étudier la limite de la fonction exponentielle en -\infty.
On rappelle que pour tout réel x on a :
exp(x) = \dfrac{1}{exp(-x)}
Quelle est la valeur de la limite de la fonction exponentielle en -\infty ?
On se rend compte que la fonction x \rightarrow \dfrac{1}{\exp(-x)} est définie en tant que composée d'une fonction inverse.
On étudie donc la limite de la fonctionx\rightarrow \exp(-x) en -\infty.
C'est une fonction exponentielle composée :
- \lim\limits_{x\rightarrow - \infty} -x = +\infty en tant que fonction affine décroissante.
- La fonction exponentielle est définie en +\infty et d'après la question précédente : \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \exp(x) = +\infty.
Par composition de limites, on a donc :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \exp(-x) = +\infty
On revient maintenant à l'étude de \dfrac{1}{\exp(-x)}.
- \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \exp(-x) = +\infty
- La fonction inverse est définie en +\infty et : \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x} = 0 .
Par composition de limites :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \dfrac{1}{\exp(-x)} = 0
Comme d'après l'énoncé on a pour tout x \in \mathbb{R} :
\exp(x) = \dfrac{1}{\exp(-x)}
Donc \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \exp(x) = 0.