On définit la suite u par :
\begin{cases}u_0=0\\u_{n+1}=\dfrac{-1}{3}u_n+4\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}
Par quelle valeur la suite u est-elle minorée ?
Pour déterminer un minorant d'une suite non définie explicitement, on peut utiliser un raisonnement par récurrence.
u_0=0, u_1=4, u_2\approx 2{,}67, u_3\approx 3{,}11, u_4\approx 2{,}96.
Les premiers termes de la suite u laissent penser que 0\leq u_n\leq 4 pour tout entier naturel n.
Pour tout entier naturel n, on note \mathcal{P}_n la proposition :
0\leq u_n\leq 4
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :
On a u_0=0 et 0\leq 0\leq 4.
\mathcal{P}_0 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel n :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie
Soit n un entier naturel quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire 0\leq u_n\leq 4.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire 0\leq u_{n+1}\leq 4.
Par hypothèse de récurrence, on a :
0\leq u_n \leq 4
La fonction x\mapsto -\dfrac{1}{3}x+4 est strictement décroissante sur \mathbb{R}.
On en déduit :
\dfrac{-1}{3}\times 0+4\geq \dfrac{-1}{3}u_n +4\geq \dfrac{-1}{3} \times 4+4
Soit :
4\geq u_{n+1}\geq \dfrac{8}{3}
On a donc bien 0\leq u_{n+1}\leq 4.
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.
En particulier, on a u_n \geq 0 pour tout n \geq 0 .
On définit la suite u par :
\begin{cases}u_0=5\\u_{n+1}=2\sqrt{u_n-1} \text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}
Par quelle valeur est la suite u est-elle minorée ?
Pour déterminer un minorant d'une suite non définie explicitement, on peut utiliser un raisonnement par récurrence.
u_0=5, u_1=4, u_2\approx 3{,}46, u_3\approx 3{,}14, u_4\approx 2{,}93.
Les premiers termes de la suite u laissent penser que 2\leq u_n pour tout entier naturel n.
Pour tout entier naturel n, on note \mathcal{P}_n la proposition :
2\leq u_n
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :
On a u_0=5 et 2\leq 5.
\mathcal{P}_0 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel n :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie
Soit n un entier naturel quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire 2\leq u_n.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire 2\leq u_{n+1}.
Par hypothèse de récurrence, on a :
2\leq u_n
La fonction f:x\mapsto 2\sqrt{x-1} est strictement croissante sur [1;+\infty[.
En effet, la fonction f est dérivable sur ]1;+\infty[ et pour tout réel x>1, f'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{x-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}.
On a donc f'(x)>0 sur ]1;+\infty[ et f est bien strictement croissante sur [1;+\infty[.
On en déduit :
2\sqrt{2-1}\leq 2\sqrt{u_n-1}
Soit :
2\leq u_{n+1}
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.
En particulier, on a u_n \geq 2 pour tout n \geq 0 .
On définit la suite u par :
\begin{cases}u_0=3\\u_{n+1}=\dfrac{5}{1+u_n}\end{cases}
Par quelle valeur la suite u est-elle minorée ?
Pour déterminer un minorant d'une suite non définie explicitement, on peut utiliser un raisonnement par récurrence.
u_0=3, u_1=1{,}25, u_2\approx 2{,}22, u_3\approx 1{,}55, u_4\approx 1{,}96.
Les premiers termes de la suite u laissent penser que 1\leq u_n\leq 3 pour tout entier naturel n.
Pour tout entier naturel n, on note \mathcal{P}_n la proposition :
1\leq u_n\leq 3
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :
On a u_0=3 et 1\leq 3\leq 3.
\mathcal{P}_0 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel n :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie
Soit n un entier naturel quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire 1\leq u_n\leq 3.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire 1\leq u_{n+1}\leq 3.
Par hypothèse de récurrence, on a :
1\leq u_n \leq 3
La fonction f:x\mapsto \dfrac{5}{1+x} est strictement décroissante sur [0;+\infty[.
En effet, la fonction f est dérivable sur [0;+\infty[ et pour tout réel x\geq 0, f'(x)=5\times \dfrac{-1}{(1+x)^2}=\dfrac{-5}{(1+x)^2}.
On a donc f'(x)<0 sur [0;+\infty[ et f est bien strictement décroissante sur [0;+\infty[.
On en déduit :
\dfrac{5}{1+1}\geq \dfrac{5}{1+u_n}\geq \dfrac{5}{1+3}
Soit :
2{,}5\geq u_{n+1}\geq 1{,}25
On a bien 1\leq u_{n+1}\leq 3.
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.
En particulier, on a u_n \geq 1 pour tout n \geq 0 .
On définit la suite u par :
\begin{cases}u_0=1\\u_{n+1} = 3u_n +1\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}
Peut-on affirmer que pour tout n \geq 0 , u_n \geq 1 ?
Pour tout entier naturel n, on note \mathcal{P}_n la proposition :
u_n \geq 1
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :
On a u_0=1 \geq 1.
\mathcal{P}_0 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel n :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie
Soit n un entier naturel quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire u_n\geq 1.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire u_{n+1}\geq 1.
Par hypothèse de récurrence, on a :
u_n\geq 1
On en déduit successivement :
3u_n \geq 3 par multiplication par un réel positif
3u_n+1 \geq 4 \geq 1
u_{n+1} \geq 1
On a bien u_{n+1}\geq n+1.
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.
On a donc u_n \geq 1 pour tout n \geq 0 .
On définit la suite u sur \mathbb{N} par :
u_n = 3^n
Peut-on affirmer que pour tout n \geq 1 , u_n \geq 3 ?
Pour tout entier naturel n, on note \mathcal{P}_n la proposition :
u_n\geq 3
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :
On a u_1=3^1=3 \geq 3.
\mathcal{P}_1 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel n :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie
Soit n un entier naturel quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire u_n\geq 3.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire u_{n+1}\geq 3.
D'après l'hypothèse de récurrence on a donc :
3^n \geq 3
Par multiplication par une constante strictement positive on obtient :
3^{n+1}\geq 9 \geq 3
On a bien u_{n+1}\geq 3 .
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.
On a donc u_n \geq 3 pour tout n \geq 1 .