Quelle est la définition d'une suite non majorée ?
D'après le cours, une suite non majorée signifie que pour tout réel A, il existe un terme de la suite plus grand que A.
Ainsi, pour tout réel A, il existe un terme de la suite plus grand que A.
Quelle est la définition d'une suite dont la limite en +\infty vaut +\infty ?
D'après le cours, une suite (u) tend vers +\infty quand n tend vers +\infty si pour tout réel A il existe un rang n_1 tel que pour tout n \geq n_1 : u_n \geq A .
Ainsi, pour tout réel A, il existe un rang n_1 tel que pour tout n \geq n_1 : u_n \geq A .
On considère la suite u_n non majorée et croissante sur \mathbb{N}.
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } ?
On utilise les définitions précédentes et les hypothèses émises dans l'énoncé afin de réaliser cette démonstration.
Afin de trouver la limite de (u), on fixe un réel A de manière arbitraire.
Comme la suite n'est pas majorée, d'après la définition de la question 1, on a :
Il existe un terme n_1 de la suite (u) tel que u_{n_1} \geq A.
Or, la suite étant croissante sur \mathbb{N} on a :
Pour tout n\geq n_1 : u_n \geq u_{n_1}.
En particulier, en utilisant les deux inéquations, on trouve :
Pour tout n\geq n_1 , u_n \geq A .
Par conséquent, A ayant été fixé arbitrairement, on a :
pour tout réel A il existe un indice n_1 tel que pour tout n \geq n_1 on a u_n \geq A .
C'est la définition de la question 2 d'une suite qui diverge vers +\infty.
Ainsi, \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} u_n = +\infty.