On considère la suite (u_n) définie par u_0=5 et u_{n+1}=\dfrac{1}{10}(u_n+1)^2 pour tout n\in \mathbb{R}.
Quel le signe de u_n ?
On commence par faire une conjecture sur le signe de la suite en calculant quelques termes de la suite :
u_0=5\geq0
u_1=\dfrac{36}{10} \geq 0
Ainsi, on peut conjecturer que la suite (u_n) est positive.
On le démontre par récurrence :
Initialisation :
On a bien u_0 \geq 0 .
Hérédité :
Soit un entier naturel n quelconque.
On suppose que u_{n} \geq 0 .
Montrons qu'alors u_{n+1}\geq 0.
Par hypothèse de récurrence, on a : u_n\geq 0.
On en déduit successivement :
u_n+1\geq 1
(u_n+1)^2\geq 1 parr croissance de la fonction carré sur \mathbb{R}_+
\dfrac{1}{10}(u_n+1)^2\geq \dfrac{1}{10}
Ainsi, on a bien u_{n+1} \geq 0 .
La proposition u_n\geq 0 est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, la proposition u_n\geq 0 est vraie pour tout entier naturel n.
Les termes u_n sont positifs pour tout n \in \mathbb{N}.
Quel est le sens de variation de (u_n) ?
On commence par faire une conjecture sur le sens de variation en calculant les premiers termes de la suite :
u_0=5\geq 0
u_1=\dfrac{36}{10} \leq u_0
Ainsi, on peut conjecturer que la suite (u_n) est décroissante.
On le démontre par récurrence.
Pour tout entier naturel n, notons \mathcal{P}_n la proposition u_n\geq u_{n+1}.
Montrons que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :
D'après les calculs précédents, on a bien :
u_1 \leq u_0.
\mathcal{P}_0 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée au rang 0.
Hérédité :
Soit un entier naturel n.
On suppose que u_{n+1} \leq u_n .
Montrons qu'alors u_{n+2}\leq u_{n+1}.
Par hypothèse de récurrence, on a : u_{n+1}\leq u_n.
On en déduit successivement :
u_{n+1}+1\leq u_n+1
(u_{n+1}+1)^2\leq (u_n+1)^2 par croissance de la fonction carré sur \mathbb{R}_+ (d'après la question précédente, on sait que 0<u_{n+1}+1)
\dfrac{1}{10}(u_{n+1}+1)^2\leq \dfrac{1}{10}(u_n+1)^2
soit
u_{n+2} \leq u_{n+1}
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, la proposition \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
La suite (u_n) est donc décroissante.
Que peut-on conclure sur la convergence/divergence de la suite (u_n) ?
D'après les deux questions précédentes :
- La suite (u_n) est minorée par 0.
- La suite (u_n) est décroissante.
D'après le théorème de convergence, une suite minorée et décroissante converge.
La suite (u_n) converge donc vers une limite \ell.