Calculer les coordonnées d'une combinaison linéaire de vecteurs dans l'espace Exercice

D'après le cours :
\overrightarrow{u} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -x_{\overrightarrow{AB}} + x_{ \overrightarrow{CD}} \cr\cr -y_{\overrightarrow{AB}} + y_{ \overrightarrow{CD}} \cr\cr -z_{\overrightarrow{AB}} + z_{ \overrightarrow{CD}} \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -(-2) + 4 \cr\cr -(-3) + 0 \cr\cr -0-3 \end{pmatrix}

D'après le cours :
\overrightarrow{u} = -\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -x_{\overrightarrow{AB}} + \dfrac{1}{2}x_{ \overrightarrow{CD}} \cr\cr -y_{\overrightarrow{AB}} + \dfrac{1}{2}y_{ \overrightarrow{CD}} \cr\cr -z_{\overrightarrow{AB}} + \dfrac{1}{2}z_{ \overrightarrow{CD}} \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -(-5) + \dfrac{1}{2}\times(-1) \cr\cr -(2) + \dfrac{1}{2} \times (-2) \cr\cr -6+ \dfrac{1}{2} \times(-4) \end{pmatrix}

On a :
\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{AB} - \dfrac{3}{2}\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{FH}

Or :
\overrightarrow{FH} = -\overrightarrow{HF}

On peut donc réécrire la combinaison linéaire de la manière suivante :
\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{AB} - \dfrac{3}{2}\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{HF}

D'après le cours :
\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{AB} - \dfrac{3}{2}\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{HF}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 2x_{\overrightarrow{AB}} - \dfrac{3}{2}x_{ \overrightarrow{CD}} - x_{\overrightarrow{HF}} \cr\cr 2y_{\overrightarrow{AB}} - \dfrac{3}{2}y_{ \overrightarrow{CD}} - y_{\overrightarrow{HF}} \cr\cr 2z_{\overrightarrow{AB}} - \dfrac{3}{2}z_{ \overrightarrow{CD}} - z_{\overrightarrow{HF}} \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 2\times 0 - \dfrac{3}{2}\times(-4) - 4 \cr\cr 2\times 3 - \dfrac{3}{2} \times 3 - 6 \cr\cr 2\times 2 - \dfrac{3}{2} \times(-\dfrac{1}{2}) - 3 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 0 + 2\times 3 - 4 \cr\cr 6 - \dfrac{9}{2} - 6 \cr\cr 4 + \dfrac{3}{4} - 3 \end{pmatrix}

D'après le cours :
\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{4}\overrightarrow{CD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{HF}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x_{\overrightarrow{AB}} - \dfrac{1}{4}x_{ \overrightarrow{CD}} + \dfrac{1}{2}x_{\overrightarrow{HF}} \cr\cr y_{\overrightarrow{AB}} - \dfrac{1}{4}y_{ \overrightarrow{CD}} + \dfrac{1}{2} y_{\overrightarrow{HF}} \cr\cr z_{\overrightarrow{AB}} - \dfrac{1}{4}z_{ \overrightarrow{CD}} + \dfrac{1}{2} z_{\overrightarrow{HF}} \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} \sqrt{2} - \dfrac{1}{4}\times(0) + \dfrac{1}{2} \times (-2\sqrt{2}) \cr\cr -\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} \times \dfrac{5}{3} +\dfrac{1}{2} \times 0 \cr\cr 2 - \dfrac{1}{4} \times(-4) +\dfrac{1}{2} \times 0 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} \sqrt{2} - 0 - \sqrt{2} \cr\cr -\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{12} + 0 \cr\cr 2 + 1 +0 \end{pmatrix}

D'après le cours :
\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} + 2\overrightarrow{HF}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 2x_{\overrightarrow{AB}} -x_{ \overrightarrow{CD}} + 2x_{\overrightarrow{HF}} \cr\cr 2y_{\overrightarrow{AB}} - y_{ \overrightarrow{CD}} + 2y_{\overrightarrow{HF}} \cr\cr 2z_{\overrightarrow{AB}} - z_{ \overrightarrow{CD}} + 2z_{\overrightarrow{HF}} \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} -\sqrt{2} + 2 \times 0 \cr\cr 2 \times 0 - 3\sqrt{3} +2 \times \sqrt{3} \cr\cr 2 \times (-2) - 0 +2 \times \dfrac{3}{2} \end{pmatrix}