Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soient les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2 \cr\cr 1 \end{pmatrix}, \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 2 \cr\cr 1 \end{pmatrix}, et \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 3 \cr\cr 2 \end{pmatrix}.
\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont-ils coplanaires ?
Trois vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} (\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} non colinéaires) sont coplanaires si et seulement s'il existe \alpha et \beta deux réels tels que :
\overrightarrow{w} = \alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v}\\\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 \cr\cr 3 \cr\cr 2 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2 \cr\cr 1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} -2 \cr\cr 2 \cr\cr 1 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha - 2\beta = 0 \cr \cr 2\alpha + 2\beta = 3 \cr \cr \alpha + \beta = 2 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha = 2\beta \cr \cr 2\alpha + \alpha = 3 \cr \cr 2\beta+ \beta = 2 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha = 2\beta \cr \cr \alpha = 1 \cr \cr \beta = \dfrac{2}{3} \end{cases}
Ce résultat est impossible.
\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} ne sont donc pas coplanaires.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soient les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr -2 \cr\cr 3 \end{pmatrix}, \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 1 \cr\cr 4 \end{pmatrix}, et \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 3 \cr\cr 3 \end{pmatrix}.
\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont-ils coplanaires ?
Trois vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} (\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} non colinéaires) sont coplanaires si et seulement s'il existe \alpha et \beta deux réels tels que :
\overrightarrow{w} = \alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v}\\\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 3 \cr\cr 3 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} -1 \cr\cr -2 \cr\cr 3 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 2 \cr\cr 1 \cr\cr 4 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \begin{cases} -\alpha + 2\beta = 3 \cr \cr -2\alpha + \beta = 3 \cr \cr 3\alpha + 4\beta = 3 \end{cases}\\\\\Leftrightarrow \begin{cases} 3\beta = 3 \hspace{3em} (2L1-L2) \cr \cr -2\alpha + \beta = 3 \cr \cr 3\alpha + 4\beta = 3 \end{cases}\\\\\Leftrightarrow \begin{cases} \beta = 1 \cr \cr -2\alpha + 1 = 3 \cr \cr 3\alpha + 4\times 1= 3 \end{cases}\\\\\Leftrightarrow \begin{cases} \beta = 1 \cr \cr \alpha = -1 \cr \cr \alpha= -\dfrac{1}{3} \end{cases}\\
Ce résultat est impossible.
\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} ne sont donc pas coplanaires.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soient les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 0 \cr\cr -5 \end{pmatrix}, \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr \sqrt{3} \cr\cr 2 \end{pmatrix}, et \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 5 \cr\cr 1 \end{pmatrix}.
\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont-ils coplanaires ?
Trois vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} (\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} non colinéaires) sont coplanaires si et seulement s'il existe \alpha et \beta deux réels tels que :
\overrightarrow{w} = \alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v}\\\Leftrightarrow \begin{pmatrix} -2 \cr\cr 5 \cr\cr 1 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 0 \cr\cr -5 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 1 \cr\cr \sqrt{3} \cr\cr 2 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 3\alpha +\beta = -2 \cr \cr \sqrt{3}\beta = 5 \cr \cr -5\alpha + 2\beta = 1 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 3\alpha +\beta = -2 \cr \cr \beta = \dfrac{5}{\sqrt{3}} \cr \cr -5\alpha + 2\beta = 1 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 3\alpha +\dfrac{5}{\sqrt{3}} = -2 \cr \cr \beta = \dfrac{5}{\sqrt{3}} \cr \cr -5\alpha + 2\times \dfrac{5}{\sqrt{3}} = 1 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 3\alpha = -\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \dfrac{5}{\sqrt{3}} \cr \cr \beta = \dfrac{5}{\sqrt{3}} \cr \cr -5\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \dfrac{10}{\sqrt{3}} \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha = -\dfrac{2\sqrt{3}+5}{3\sqrt{3}} \cr \cr \beta = \dfrac{5}{\sqrt{3}} \cr \cr \alpha = -\dfrac{\sqrt{3}-10}{5\sqrt{3}} \end{cases}
Ce résultat est impossible.
\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} ne sont donc pas coplanaires.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soient les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr -2 \cr\cr 3 \end{pmatrix}, \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix}, et \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 10 \cr\cr -1 \end{pmatrix}.
\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont-ils coplanaires ?
Trois vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} (\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} non colinéaires) sont coplanaires si et seulement s'il existe \alpha et \beta deux réels tels que :
\overrightarrow{w} = \alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v}\\\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2 \cr\cr 10 \cr\cr -1 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} -2 \cr\cr -2 \cr\cr 3 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \begin{cases} -2\alpha +\beta = 2 \cr \cr -2\alpha + 3\beta = 10 \cr \cr 3\alpha - \beta = -1 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} -2\beta = -8 \hspace{3em} (L1-L2) \cr \cr -2\alpha + 3\beta = 10 \cr \cr 3\alpha - \beta = -1 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \beta = 4 \cr \cr -2\alpha + 3\times 4 = 10 \cr \cr 3\alpha - 4 = -1 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \beta = 4 \cr \cr -2\alpha = 10-12 \cr \cr 3\alpha = 3 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \beta = 4 \cr \cr \alpha = 1 \cr \cr \alpha = 1 \end{cases}
On a bien \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + 4 \overrightarrow{v}.
\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont donc coplanaires.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soient les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \sqrt{2} \cr\cr 4 \cr\cr 1 \end{pmatrix}, \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2\sqrt{2} \cr\cr \sqrt{2} \end{pmatrix}, et \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \cr\cr 8 \cr\cr 3 \end{pmatrix}.
\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont-ils coplanaires ?
Trois vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} (\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} non colinéaires) sont coplanaires si et seulement s'il existe \alpha et \beta deux réels tels que :
\overrightarrow{w} = \alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v}\\\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \cr\cr 8 \cr\cr 3 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} \sqrt{2} \cr\cr 4 \cr\cr 1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2\sqrt{2} \cr\cr \sqrt{2} \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{2}\alpha +\beta = 2\sqrt{2} \cr \cr 4\alpha + 2\sqrt{2}\beta = 8 \cr \cr \alpha + \sqrt{2}\beta = 3 \end{cases}\\\\\Leftrightarrow \begin{cases} -\beta = -\sqrt{2} (L1-\sqrt{2}L3) \cr \cr 4\alpha + 2\sqrt{2}\beta = 8 \cr \cr \alpha + \sqrt{2}\beta = 3 \end{cases}\\\\\Leftrightarrow \begin{cases} \beta = \sqrt{2} (L1-\sqrt{2}L3) \cr \cr 4\alpha + 2\sqrt{2}\times\sqrt{2} = 8 \cr \cr \alpha + \sqrt{2}\times\sqrt{2} = 3 \end{cases}\\\\\Leftrightarrow \begin{cases} \beta = \sqrt{2} (L1-\sqrt{2}L3) \cr \cr 4\alpha = 4 \cr \cr \alpha = 1 \end{cases}\\
On a bien \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + \sqrt{2} \overrightarrow{v}.
\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont donc coplanaires.