Déterminer si trois vecteurs sont coplanaires dans l'espace sans l'aide de leur coordonnées Exercice

Ici, on remarque que, d'après les propriétés du cube, \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{AF}.

Les trois vecteurs \overrightarrow{AF}, \overrightarrow{FH} et \overrightarrow{AH} ne font intervenir que trois points. Or, trois points non alignés forment un plan.

Ces trois vecteurs ont des représentants appartenant donc au plan (AFH) : ils sont coplanaires.

Or, \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{AF}.

Ici, on remarque que, d'après les propriétés du cube, \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{FH}.

Les trois vecteurs \overrightarrow{AF}, \overrightarrow{FH} et \overrightarrow{AH} ne font intervenir que trois points. Or, trois points non alignés forment un plan.

Ces trois vecteurs ont des représentants appartenant donc au plan (AFH) : ils sont coplanaires.

Or, \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{FH}.

Trois vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels \alpha et \beta tels que \overrightarrow{w} = \alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v} (\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} non colinéaires).

Ici, d'après les propriétés du cube, on peut écrire : 
\overrightarrow{GE} = \overrightarrow{CA} et \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}

Or, d'après la relation de Chasles, on a bien : 
\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AD}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{GE} + \overrightarrow{BC}

Trois vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels \alpha et \beta tels que \overrightarrow{w} = \alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v} (\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} non colinéaires).

Ici, on peut tout d'abord remarquer que \overrightarrow{CD} et \overrightarrow{CB} ne sont pas colinéaires. On essaie alors d'exprimer \overrightarrow{CE} comme une combinaison linéaire de \overrightarrow{CD} et \overrightarrow{CB}.

D'après la relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE}

Or, d'après les propriétés du cube, on a \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}.

D'où : 
\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AE}

On ne peut donc pas écrire \overrightarrow{CE} comme une combinaison linéaire de \overrightarrow{CD} et \overrightarrow{CB} car le vecteur \overrightarrow{AE} ne peut pas s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs \overrightarrow{CD} et \overrightarrow{CB}.

Trois vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels \alpha et \beta tels que \overrightarrow{w} = \alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v} (\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} non colinéaires).

On remarque tout d'abord que \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{FH}.

Or, \overrightarrow{FH} et \overrightarrow{FA} ne sont pas colinéaires, donc \overrightarrow{BD} et \overrightarrow{FA} non plus. On essaie alors d'exprimer \overrightarrow{BH} comme une combinaison linéaire de \overrightarrow{BD} et \overrightarrow{FA}.

D'après la relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{FH}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{BH} = \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{BD}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{BH} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{BD}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{BH} = \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{FA} + \overrightarrow{BA}

On ne peut donc pas écrire \overrightarrow{BH} comme une combinaison linéaire de \overrightarrow{BD} et \overrightarrow{FA} car \overrightarrow{BA} ne peut pas s'écrire comme une combinaison linéaire de \overrightarrow{BD} et \overrightarrow{FA}.