Déterminer si un couple de vecteurs est une base d'un plan Exercice

\left( \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} \right) forme une base de \mathcal{P} si et seulement si :

• \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires ;
• il existe un point M de \mathcal{P} tel que \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AM} ;
• il existe un point N de \mathcal{P} tel que \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AN}.

 

On peut tout d'abord remarquer que \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires, leurs coordonnées n'étant pas proportionnelles.

On cherche les coordonnées des points M et N tels que \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AN}.

\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 \cr\cr -2 \cr\cr 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_M - 3 \cr\cr y_M - 4 \cr\cr z_M + 2 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x_M - 3 = 1 \cr \cr y_M - 4 = -2 \cr \cr z_M + 2 = 3 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x_M = 4 \cr \cr y_M = 2 \cr \cr z_M = 1 \end{cases}

De même, on a : 
\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AN} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 \cr\cr -1 \cr\cr -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_N - 3 \cr\cr y_N - 4 \cr\cr z_N + 2 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x_N - 3 = 1 \cr \cr y_N - 4 = -1 \cr \cr z_N + 2 = -2 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x_N = 4 \cr \cr y_N = 3 \cr \cr z_N = -4 \end{cases}

On a donc : 
M(4, 2, 1) et N(4, 3, -4)

On vérifie maintenant que M et N appartiennent à \mathcal{P}.

M appartient à \mathcal{P} si et seulement s'il existe deux uniques réels \alpha et \beta tels que :
\overrightarrow{AM} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}\\\Leftrightarrow\begin{pmatrix} 1 \cr\cr -2 \cr\cr 3 \end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix} 1 \cr\cr -\dfrac{14}{5} \cr\cr 7 \end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix} -5 \cr\cr -2 \cr\cr \dfrac{14}{5} \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha - 5\beta = 1 \cr \cr -\dfrac{14}{5} \alpha - 2\beta = -2 \cr \cr 7\alpha + \dfrac{14}{5}\beta = 3 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha - 5\beta = 1 \cr \cr -16\beta = -2 + \dfrac{14}{5} \cr \cr \dfrac{14}{5}\beta + 35 \beta = 3 - 7 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha - 5\beta = 1 \cr \cr -16\beta = \dfrac{4}{5} \cr \cr \dfrac{14}{5}\beta + \dfrac{175}{5} \beta = -4 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha - 5\beta = 1 \cr \cr \beta = -\dfrac{1}{20} \cr \cr \dfrac{189}{5}\beta = -4 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha - 5\beta = 1 \cr \cr \beta = -\dfrac{1}{20} \cr \cr \beta = -\dfrac{20}{189} \end{cases}

M n'appartient donc pas à \mathcal{P}.

\left( \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} \right) forme une base de \mathcal{P} si et seulement si :

• \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires ;
• il existe un point M de \mathcal{P} tel que \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AM} ;
• il existe un point N de \mathcal{P} tel que \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AN}.

 

On peut tout d'abord remarquer que \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires, leurs coordonnées n'étant pas proportionnelles. 

On cherche les coordonnées des points M et N tels que \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AN}.

\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2 \cr\cr 5 \cr\cr -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_M - 1 \cr\cr y_M - 3 \cr\cr z_M + 2 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x_M - 1 = 2 \cr \cr y_M - 3 = 5 \cr \cr z_M + 2 = -1 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x_M = 3 \cr \cr y_M = 8 \cr \cr z_M = -3 \end{cases}

De même, on a : 
\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AN} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 3 \cr\cr 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_N - 1 \cr\cr y_N - 3 \cr\cr z_N + 2 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x_N - 1 = 3 \cr \cr y_N - 3 = 3 \cr \cr z_N + 2 = 2 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x_N = 4 \cr \cr y_N = 6 \cr \cr z_N = 0 \end{cases}

On a donc :
M(3, 8, -3) et N(4, 6, 0)

On vérifie maintenant que M et N appartiennent à \mathcal{P}.

M appartient à \mathcal{P} si et seulement s'il existe deux uniques réels \alpha et \beta tels que :
\overrightarrow{AM} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}\\\Leftrightarrow\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 5 \cr\cr -1 \end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -3 \cr\cr 1 \end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix} -2 \cr\cr -4 \cr\cr 4 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 3\alpha - 2\beta = 2 \cr \cr -3 \alpha - 4\beta = 5 \cr \cr \alpha + 4\beta = -1 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 3\alpha - 2\beta = 2 \cr \cr -3 \alpha - 4\beta = 5 \cr \cr -2\alpha = 4 \textcolor{Red}{L2 + L3} \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 3\alpha - 2\beta = 2 \cr \cr - 6\beta = 7 \textcolor{Red}{L1+L2}\cr \cr \alpha = -2 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 3\alpha - 2\beta = 2 \cr \cr \beta = -\dfrac{7}{6} \cr \cr \alpha = -2 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 3\times (-2) - 2\times \left(-\dfrac{7}{6}\right) = 2 \cr \cr \beta = -\dfrac{7}{6} \cr \cr \alpha = -2 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} -6 + \dfrac{7}{3} = 2 \cr \cr \beta = -\dfrac{7}{6} \cr \cr \alpha = -2 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} -\dfrac{18}{3} + \dfrac{7}{3} = 2 \cr \cr \beta = -\dfrac{7}{6} \cr \cr \alpha = -2 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} -\dfrac{11}{3} = 2 \cr \cr \beta = -\dfrac{7}{6} \cr \cr \alpha = -2 \end{cases}

Or :
-\dfrac{11}{3} \neq 2

M n'appartient donc pas à \mathcal{P}.

\left( \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} \right) forme une base de \mathcal{P} si et seulement si :

• \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires ;
• il existe un point M de \mathcal{P} tel que \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AM} ;
• il existe un point N de \mathcal{P} tel que \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AN}.

 

On peut tout d'abord remarquer que \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires, leurs coordonnées n'étant pas proportionnelles. 

On cherche les coordonnées des points M et N tels que \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AN}.

\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} \dfrac{3}{2} \cr\cr -\dfrac{1}{2} \cr\cr -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_M - 0 \cr\cr y_M - 0 \cr\cr z_M - 2 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x_M = \dfrac{3}{2} \cr \cr y_M = -\dfrac{1}{2} \cr \cr z_M - 2 = -1 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x_M = \dfrac{3}{2} \cr \cr y_M = -\dfrac{1}{2} \cr \cr z_M = 1 \end{cases}

De même, on a : 
\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AN} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_N - 0 \cr\cr y_N - 0 \cr\cr z_N - 2 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x_N = 1 \cr \cr y_N = 1 \cr \cr z_N -2 = -2 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x_N = 1 \cr \cr y_N = 1 \cr \cr z_N = 0 \end{cases}

On a donc :
M\left(\dfrac{3}{2}, -\dfrac{1}{2}, 1\right) et N(1, 1, 0).

On vérifie maintenant que M et N appartiennent à \mathcal{P}.

M appartient à \mathcal{P} si et seulement s'il existe deux uniques réels \alpha et \beta tels que :
\overrightarrow{AM} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}\\\Leftrightarrow\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2} \cr\cr -\dfrac{1}{2} \cr\cr -1 \end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 0 \cr\cr -2 \end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 2 \cr\cr -2 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 2\alpha = \dfrac{3}{2} \cr \cr 2\beta = -\dfrac{1}{2} \cr \cr -2\alpha -2\beta = -1 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha = \dfrac{3}{4} \cr \cr \beta = -\dfrac{1}{4} \cr \cr -2\alpha -2\beta = -1 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha = \dfrac{3}{4} \cr \cr \beta = -\dfrac{1}{4} \cr \cr -2\times \dfrac{3}{4} -2 \times \left(-\dfrac{1}{4}\right) = -1 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha = \dfrac{3}{4} \cr \cr \beta = -\dfrac{1}{4} \cr \cr -\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} = -1 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha = \dfrac{3}{4} \cr \cr \beta = -\dfrac{1}{4} \cr \cr -1 = -1 \end{cases}

M appartient donc à \mathcal{P}.

De même, N appartient à \mathcal{P} si et seulement s'il existe deux uniques réels \alpha et \beta tels que :
\overrightarrow{AN} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}\\\Leftrightarrow\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr -2 \end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 0 \cr\cr -2 \end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 2 \cr\cr -2 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 2\alpha = 1 \cr \cr 2\beta = 1 \cr \cr -2\alpha -2\beta = -2 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha = \dfrac{1}{2} \cr \cr \beta = \dfrac{1}{2} \cr \cr -2\alpha -2\beta = -2 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha = \dfrac{1}{2} \cr \cr \beta = \dfrac{1}{2} \cr \cr -2 \times \dfrac{1}{2} -2 \times \dfrac{1}{2} = -2 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha = \dfrac{1}{2} \cr \cr \beta = \dfrac{1}{2} \cr \cr -2 = -2 \end{cases}

N appartient donc à \mathcal{P}.

\left( \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} \right) forme une base de \mathcal{P} si et seulement si :

• \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires ;
• il existe un point M de \mathcal{P} tel que \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AM} ;
• il existe un point N de \mathcal{P} tel que \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AN}.

 

On peut tout d'abord remarquer que \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires, leurs coordonnées n'étant pas proportionnelles.

On cherche les coordonnées des points M et N tels que \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AN}.

\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} -\dfrac{3}{2} \cr\cr \dfrac{1}{2} \cr\cr 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_M - 0 \cr\cr y_M - 0 \cr\cr z_M - 1 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x_M = -\dfrac{3}{2} \cr \cr y_M = \dfrac{1}{2} \cr \cr z_M - 1 = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x_M = -\dfrac{3}{2} \cr \cr y_M = \dfrac{1}{2} \cr \cr z_M = 1 \end{cases}

De même, on a : 

 

On a donc :
M\left(-\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2}, 1\right) et N(1, -1, 1)

On vérifie maintenant que M et N appartiennent à \mathcal{P}.

M appartient à \mathcal{P} si et seulement s'il existe deux uniques réels \alpha et \beta tels que :
\overrightarrow{AM} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}\\\Leftrightarrow\begin{pmatrix} -\dfrac{3}{2} \cr\cr \dfrac{1}{2} \cr\cr 0 \end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2} \cr\cr \dfrac{3}{2} \cr\cr 0 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{3}{2}\beta = -\dfrac{3}{2} \cr \cr \alpha + \dfrac{3}{2}\beta = \dfrac{1}{2} \cr \cr 0 = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \beta = -1 \cr \cr \alpha + \dfrac{3}{2}\beta = \dfrac{1}{2} \cr \cr 0 = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \beta = -1 \cr \cr \alpha - \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2} \cr \cr 0 = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \beta = -1 \cr \cr \alpha = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} \cr \cr 0 = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \beta = -1 \cr \cr \alpha = 2 \cr \cr 0 = 0 \end{cases}

M appartient donc à \mathcal{P}.

De même, N appartient à \mathcal{P} si et seulement s'il existe deux uniques réels \alpha et \beta tels que :
\overrightarrow{AN} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}\\\Leftrightarrow\begin{pmatrix} 1 \cr\cr -1 \cr\cr 0 \end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2} \cr\cr \dfrac{3}{2} \cr\cr 0 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{3}{2}\beta = 1 \cr \cr \alpha + \dfrac{3}{2}\beta = -1 \cr \cr 0 = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \beta = \dfrac{2}{3} \cr \cr \alpha + \dfrac{3}{2}\beta = -1 \cr \cr 0 = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \beta = \dfrac{2}{3} \cr \cr \alpha + \dfrac{3}{2} \times \dfrac{2}{3} = -1 \cr \cr 0 = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \beta = \dfrac{2}{3} \cr \cr \alpha + 1 = -1 \cr \cr 0 = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \beta = \dfrac{2}{3} \cr \cr \alpha = -2 \cr \cr 0 = 0 \end{cases}

N appartient donc à \mathcal{P}.

\left( \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} \right) forme une base de \mathcal{P} si et seulement si :

• \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires ;
• il existe un point M de \mathcal{P} tel que \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AM} ;
• il existe un point N de \mathcal{P} tel que \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AN}.

 

On peut tout d'abord remarquer que \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires, leurs coordonnées n'étant pas proportionnelles. 

On cherche les coordonnées des points M et N tels que \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AN}.

\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_M - 0 \cr\cr y_M - 0 \cr\cr z_M - 2 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x_M = 0 \cr \cr y_M = 1 \cr \cr z_M = 2 \end{cases}

De même, on a : 
\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AN} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 \cr\cr -\dfrac{1}{2} \cr\cr -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_N - 0 \cr\cr y_N - 0 \cr\cr z_N - 2 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x_N = 0 \cr \cr y_N = -\dfrac{1}{2} \cr \cr z_N - 2 = -\dfrac{1}{2} \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x_N = 0 \cr \cr y_N = -\dfrac{1}{2} \cr \cr z_N = \dfrac{3}{2} \end{cases}

On a donc :
M\left(0, 1, 2\right) et N(0, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2})

On vérifie maintenant que M et N appartiennent à \mathcal{P}.

M appartient à \mathcal{P} si et seulement s'il existe deux uniques réels \alpha et \beta tels que :
\overrightarrow{AM} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AO}\\\Leftrightarrow\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr -2 \end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 0 \cr\cr -2 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 0 = 0 \cr \cr \alpha =1 \cr \cr -2\alpha - 2\beta = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 0 = 0 \cr \cr \alpha =1 \cr \cr - 2\beta = 2 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 0 = 0 \cr \cr \alpha =1 \cr \cr \beta = -1 \end{cases}\\

M appartient donc à \mathcal{P}.

De même, N appartient à \mathcal{P} si et seulement s'il existe deux uniques réels \alpha et \beta tels que :
\overrightarrow{AN} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AO}\\\Leftrightarrow\begin{pmatrix} 0 \cr\cr -\dfrac{1}{2} \cr\cr -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr -2 \end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 0 \cr\cr -2 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 0=0 \cr \cr \alpha = -\dfrac{1}{2} \cr \cr -2\alpha -2\beta = -\dfrac{1}{2} \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 0=0 \cr \cr \alpha = -\dfrac{1}{2} \cr \cr 1 -2\beta = -\dfrac{1}{2} \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 0=0 \cr \cr \alpha = -\dfrac{1}{2} \cr \cr -2\beta = -\dfrac{3}{2} \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 0=0 \cr \cr \alpha = -\dfrac{1}{2} \cr \cr \beta = \dfrac{3}{4} \end{cases}

N appartient donc à \mathcal{P}.