Déterminer les coordonnées d'un point respectant une égalité vectorielle dans l'espace Exercice

On pose D\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix} .

D'après l'énoncé, on a :
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}

On a :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \cr\cr y_B-y_A \cr\cr z_B - z_A\end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 - 2 \cr\cr 1 - 3 \cr\cr 1 - 4\end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr -2 \cr\cr - 3\end{pmatrix}

De plus :
\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x_D - x_C \cr\cr y_D-y_C \cr\cr z_D - z_C\end{pmatrix}
\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x+1\cr\cr y- 2 \cr\cr z \end{pmatrix}

On en déduit que :
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Leftrightarrow\begin{cases} -1 = x+1 \cr \cr -2 = y-2 \end{cases}

On résout le système et on obtient :
\begin{cases} -1 = x +1 \cr \cr -2 = y-2 \cr\cr -3=z\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x = -1 -1 \cr \cr y = -2 + 2 \cr\cr z = -3\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x = -2 \cr \cr y = 0 \cr\cr z=-3\end{cases}

On pose D\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z\end{pmatrix} .

D'après l'énoncé, on a :
\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}

On a :
\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} x_A - x_B \cr\cr y_A-y_B \cr\cr z_A-z_B \end{pmatrix}
\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} 1-5 \cr\cr 4- (-2) \cr\cr 1-(-1) \end{pmatrix}
\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} -4 \cr\cr 6 \cr\cr 2 \end{pmatrix}

De plus :
\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x_D - x_C \cr\cr y_D-y_C \cr\cr z_D-z_C \end{pmatrix}
\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x-3\cr\cr y- 3 \cr\cr z -3 \end{pmatrix}

On en déduit que
\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD} \Leftrightarrow\begin{cases} -4 = x-3 \cr \cr 6 = y-3 \cr\cr 2=z-3 \end{cases}

On résout le système et on obtient :
\begin{cases} -4 = x-3 \cr \cr 6 = y-3 \cr\cr 2=z-3 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x = -4 + 3 \cr \cr y = 6 + 3 \cr\cr z=2+3 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x = -1 \cr \cr y = 9 \cr\cr z=5 \end{cases}

On pose D\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix} .

D'après l'énoncé, on a :
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}

On a :
\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} x_C - x_B \cr\cr y_C-y_B \cr\cr z_C-z_B \end{pmatrix}
\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 1 - 3 \cr\cr 5 - 2 \cr\cr -2-1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 3 \cr\cr -3 \end{pmatrix}

De plus :
\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} x_D - x_A \cr\cr y_D-y_A \cr\cr z_D-z_A \end{pmatrix}
\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} x-4\cr\cr y- 1 \cr\cr z+3 \end{pmatrix}

On en déduit que :
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} \Leftrightarrow\begin{cases} -2 = x-4 \cr \cr 3 = y-1 \cr\cr -3=z+3 \end{cases}

On résout le système et on obtient :
\begin{cases} -2 = x-4 \cr \cr 3 = y-1 \cr\cr -3=z+3 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x = 2 \cr \cr y = 4 \cr\cr z=-6 \end{cases}

On pose D\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix} .

D'après l'énoncé, on a :
\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BD}

On a :
\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix} x_A - x_C \cr\cr y_A-y_C \cr\cr z_A-z_C \end{pmatrix}
\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix} 6 - 3 \cr\cr 1 - (-1) \cr\cr 0-(-1) \end{pmatrix}
\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 2 \cr\cr 1\end{pmatrix}

De plus :
\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix} x_D - x_B \cr\cr y_D-y_B \cr\cr z_D-z_B \end{pmatrix}
\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix} x-2\cr\cr y-3 \cr\cr z+4 \end{pmatrix}

On en déduit que :
\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BD} \Leftrightarrow\begin{cases} 3 = x-2 \cr \cr 2 = y-3 \cr\cr 1=z+4 \end{cases}

On résout le système et on obtient :
\begin{cases} 3 = x-2 \cr \cr 2 = y-3 \cr\cr 1=z+4 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x = 5 \cr \cr y = 5 \cr\cr z=-3 \end{cases}

On pose D\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z\end{pmatrix} .

D'après l'énoncé, on a :
\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AD}

On a :
\overrightarrow{CB}\begin{pmatrix} x_B - x_C \cr\cr y_B-y_C \cr\cr zB-zC \end{pmatrix}
\overrightarrow{CB}\begin{pmatrix} 4 - (-3) \cr\cr 5 - 3 \cr\cr -6-(-7) \end{pmatrix}
\overrightarrow{CB}\begin{pmatrix} 7 \cr\cr 2 \cr\cr 1 \end{pmatrix}

De plus :
\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} x_D - x_A \cr\cr y_D-y_A \cr\cr z_D-z_A \end{pmatrix}
\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} x-1\cr\cr y- 1 \cr\cr z-5 \end{pmatrix}

On en déduit que :
\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AD} \Leftrightarrow\begin{cases} 7 = x-1 \cr \cr 2 = y-1 \cr\cr 1=z-5 \end{cases}

On résout le système et on obtient :
\begin{cases} 7 = x-1 \cr \cr 2 = y-1 \cr\cr 1=z-5 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x = 8 \cr \cr y = 3 \cr\cr z=6 \end{cases}