Établir l'alignement de trois points dans l'espace sans l'aide de leurs coordonnées Exercice

Les points E, F et H sont alignés si et seulement si \overrightarrow{EF} et \overrightarrow{EH} sont colinéaires.

ABD étant un triangle équilatéral d'après les propriétés du tétraèdre régulier, et H étant le centre de gravité de ce triangle, on peut par définition écrire :
\overrightarrow{EH}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{EB}

D'après la relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{EH}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}\right)

Le point E étant le milieu du segment [AD], on a :
\overrightarrow{EH}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{DA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}
\overrightarrow{EH}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AD}

D'après la relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}

Les points E et F étant les milieux respectifs des segments [AD] et [BD], on en déduit :
\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}
\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)
\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}

Ainsi, on a :
\overrightarrow{EH}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AD}
et
\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AD} n'étant pas colinéaires, on en déduit que les vecteurs \overrightarrow{EH} et \overrightarrow{EF} ne sont pas colinéaires.

Les points J, G et D sont alignés si et seulement si \overrightarrow{JG} et \overrightarrow{JD} sont colinéaires.

D'après la relation de Chasles, on peut écrire :
\overrightarrow{JD} = \overrightarrow{JG} + \overrightarrow{GD}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{JD} = \overrightarrow{JG} + \overrightarrow{FA}

Or, \overrightarrow{FG} et \overrightarrow{FA} ne sont pas colinéaires donc \overrightarrow{JG} et \overrightarrow{FA} non plus.

\overrightarrow{JD} pouvant s'écrire comme une combinaison linéaire de \overrightarrow{JG} et \overrightarrow{FA}, on peut en déduire que \overrightarrow{JD} et \overrightarrow{JG} ne sont pas colinéaires.

ABD est un triangle équilatéral d'après les propriétés du tétraèdre régulier.

Le centre du cercle circonscrit au triangle ABD, H, est donc également le point d'intersection des trois médianes du triangle.

Or, [EB] est bien l'une de ces médianes. Donc H appartient à [EB].

Les points E, I et H sont alignés si et seulement si \overrightarrow{EI} et \overrightarrow{EH} sont colinéaires.

D'après la relation de Chasles, et les points E, F, H et I étant les milieux respectifs de [AD], [AB], [BD] et [DF], on peut écrire :
\overrightarrow{EH} = \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{DH}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{EH} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} +\dfrac{1}{2} \overrightarrow{DB}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{EH} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}

et 

\overrightarrow{EI} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FI}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{EI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{FD}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{EI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{FD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{EI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{FB}

Or, F étant le milieu de [AB], \overrightarrow{FB} et \overrightarrow{AB} sont colinéaires.

On peut donc affirmer que \overrightarrow{EI} et \overrightarrow{EH} sont colinéaires.

Les points I, J et K sont alignés si et seulement si \overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{IK} sont colinéaires.

Tout d'abord, d'après les propriétés du cube, on peut écrire :
\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{CG}

De plus, d'après la relation de Chasles, et les points I et K étant les milieux respectifs de [BC] et [FC], on peut écrire :
\overrightarrow{IK} = \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{CK}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{IK} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} +\dfrac{1}{2} \overrightarrow{CF}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{IK} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BF}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{IK} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CG}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{IK} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{IJ}

On peut donc affirmer que \overrightarrow{IK} et \overrightarrow{IJ} sont colinéaires.