Déterminer le barycentre d'une famille d'un système pondéré de trois points Problème

D'après le cours, on sait que le barycentre d'un système pondéré de trois points (A;a) ; (B;b) ; (C;c) existe si et seulement si a+b+c\neq0.

On résout donc l'équation a+b+c=0 soit, dans le cas de cet exercice : 
2m+1+m-2-3m+2=0\Leftrightarrow 1 =0 .

C'est impossible, donc l'équation n'a pas de solution.

D'après le cours, les coordonnées du centre de gravité G de trois points est la moyenne pondérée des coordonnées des trois points par les coefficients de pondération : 

• x_G=\dfrac{ax_A+bx_B+cx_C}{a+b+c}=\dfrac{1(2m+1)+4(m-2)+3(-3m+2)}{2m+1+m-2+(-3m+2)}=-3m -1 
• y_G=\dfrac{ay_A+by_B+cy_C}{a+b+c}=\dfrac{-(2m+1)+2(m-2)+1(-3m+2)}{2m+1+m-2+(-3m+2)}=-3m-3
• z_G=\dfrac{az_A+bz_B+cz_C}{a+b+c}=\dfrac{\dfrac{-9}{5}(2m+1)+\dfrac{13}{5}(m-2)+1(-3m+2)}{2m+1+m-2+(-3m+2)}=-4m-5   

Afin de déterminer une équation du plan que décrivent les points G, on peut exprimer le point z_G en fonction du point x_G, du point y_G et d'une constante.

En prenant \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 trois réels, on a : 
-4m-5=\alpha_1(-3m-1)+\alpha_2(-3m-3)+\alpha_3

Donc, par identification :
-3\alpha_1-3\alpha_2=-4

On pose \alpha_2=1 :
-3\alpha_1=-1 \Leftrightarrow \alpha_1=\dfrac{1}{3}

Finalement, avec ces valeurs pour \alpha_1 et \alpha_2, on peut trouver \alpha_3 : 
\alpha_3=-4m-5-\dfrac{1}{3}(-3m-1)-(-3m-3) \Leftrightarrow \alpha_3=-5+3+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{5}{3}

Les points G se placent sur le plan d'équation cartésienne :
z=\dfrac{1}{3}x+y-\dfrac{5}{3}