Déterminer si deux droites sont parallèles sans l'aide de coordonnées Exercice

D'après la relation de Chasles, on peut écrire :
\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{DF}

Or, E et F étant les milieux respectifs de [AD] et [DB], on a :
\overrightarrow{EF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{EF} = \dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} \right) \\\Leftrightarrow \overrightarrow{EF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}

Pour les mêmes raisons, on peut écrire :
\overrightarrow{GH} = \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{CH}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{GH} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{GH} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{GH} et \overrightarrow{EF} sont donc colinéaires.
Or, \overrightarrow{GH} et \overrightarrow{EF} sont des vecteurs directeurs respectifs des droites (GH) et (EF).

D'après la relation de Chasles, on peut écrire :
\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AJ}

Or, I et J étant les milieux respectifs de [AB] et [AD], on a :
\overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} \right) \\\Leftrightarrow \overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}

Pour les mêmes raisons, on peut écrire :
\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{KC} + \overrightarrow{CL}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{KL} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{KL} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}

\overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{KL} sont donc colinéaires.
Or, \overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{KL} sont des vecteurs directeurs respectifs des droites (IJ) et (KL).

D'après la relation de Chasles, on peut écrire :
\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IF} + \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{BJ}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}

Or, \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AB}, d'où :
\overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{FB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{FB}

De même :
\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{KH} + \overrightarrow{HD} + \overrightarrow{DL}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{KL} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{EH} + \overrightarrow{HD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC}

Or, \overrightarrow{EH} = \overrightarrow{AD} et \overrightarrow{HD} = \overrightarrow{FB}, d'où :
\overrightarrow{KL} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{HD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{KL} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{FB}

\overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{KL} sont donc colinéaires.
Or, \overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{KL} sont des vecteurs directeurs respectifs des droites (IJ) et (KL).

D'après la relation de Chasles, on peut écrire :
\overrightarrow{GF} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AF}

Or, G et F étant les milieux respectifs de [AC] et [AB], on a :
\overrightarrow{GF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\\\\Leftrightarrow \overrightarrow{GF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}

\overrightarrow{GF} et \overrightarrow{CB} sont donc colinéaires.
Or, on peut voir graphiquement que \overrightarrow{EH} et \overrightarrow{CB} ne sont pas colinéaires.

Donc \overrightarrow{EH} et \overrightarrow{GF} ne sont pas colinéaires.

D'après la relation de Chasles, on peut écrire :
\overrightarrow{IJ} =\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AJ}

Or, I et J étant les milieux respectifs de [AB] et [AD], on a :
\overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\\\\\Leftrightarrow \overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}

\overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{BD} sont donc colinéaires. 

De même, on peut écrire :
\overrightarrow{DK} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BK}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{DK} = -\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BK}

\overrightarrow{DK} est donc une combinaison linéaire de deux vecteurs non colinéaires \overrightarrow{BD} et \overrightarrow{BK}.

Donc \overrightarrow{DK} et \overrightarrow{BD} ne sont pas colinéaires, donc \overrightarrow{DK} et \overrightarrow{IJ} ne le sont pas non plus.