Calculer un sinus ou un cosinus à l'aide des relations entre cosinus et sinus Exercice

On sait que pour tout réel x :
\cos^2\left(x\right) + \sin^2\left(x\right) = 1

On a donc :
\cos^2\left(x\right) = 1 -\sin^2\left(x\right)

Or :
\sin\left(x\right) = \dfrac{1+\sqrt{3}}{3}

On obtient donc :
\begin{aligned}\cos^2\left(x\right) &= 1 - \left( \dfrac{1+\sqrt{3}}{3}\right)^2 \\ &= 1 - \dfrac{1+2\sqrt{3}+3}{9} \\ &= \dfrac{9-1-2\sqrt{3}-3}{9} \\ &= \dfrac{5-2\sqrt{3}}{9}\end{aligned}

Ainsi, \cos\left(x\right) = \dfrac{\sqrt{{5-2\sqrt{3}}}}{3} ou \cos\left(x\right) = -\dfrac{\sqrt{{5-2\sqrt{3}}}}{3}.

Or on sait que x \in \left[ 0, \dfrac{\pi}{2} \right], donc \cos\left(x\right)\geqslant0.

Ainsi, \cos\left(x\right) ne peut pas valoir -\dfrac{\sqrt{{5-2\sqrt{3}}}}{3} car ce nombre est négatif.

On sait que pour tout réel x :
\cos^2\left(x\right) + \sin^2\left(x\right) = 1

On a donc :
\sin^2\left(x\right) = 1 -\cos^2\left(x\right)

Or :
\cos\left(x\right) = \dfrac{\sqrt{17}-3}{4}

On obtient donc :
\begin{aligned}\sin^2\left(x\right) &= 1 - \left( \dfrac{\sqrt{17}-3}{4}\right)^2 \\ &= 1 - \dfrac{17-6\sqrt{17}+9}{16} \\ &= \dfrac{16-17+6\sqrt{17}-9}{16} \\ &= \dfrac{-10+6\sqrt{17}}{16} \\ &=\dfrac{-5+3\sqrt{17}}{8}\\ & \end{aligned}

Ainsi, \sin\left(x\right) = \dfrac{\sqrt{-5+3\sqrt{17}}}{2\sqrt{2}} ou \sin\left(x\right) = -\dfrac{\sqrt{-5+3\sqrt{17}}}{2\sqrt{2}}.

Or on sait que x \in \left[ -\pi,0\right], donc \sin\left(x\right)\leqslant0.

Ainsi, \sin\left(x\right) ne peut pas valoir \dfrac{\sqrt{-5+3\sqrt{17}}}{2\sqrt{2}} car ce nombre est positif.

On sait que pour tout réel x :
\cos^2\left(x\right) + \sin^2\left(x\right) = 1

On a donc :
\cos^2\left(x\right) = 1 -\sin^2\left(x\right)

Or \sin\left(x\right) = \dfrac{1}{3}.

On obtient donc :
\begin{aligned}\cos^2\left(x\right) &= 1 - \left( \dfrac{1}{3}\right)^2 \\ &= 1 - \dfrac{1}{9} \\ &= \dfrac{8}{9} \end{aligned}

Ainsi, \cos\left(x\right) = \dfrac{2\sqrt{2}}{3} ou \cos\left(x\right) = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.

Or on sait que x \in \left[ \dfrac{\pi}{2},\pi\right], donc \cos\left(x\right)\leqslant0.

Ainsi, \cos\left(x\right) ne peut pas valoir \dfrac{2\sqrt{2}}{3} car ce nombre est positif.

On sait que pour tout réel x :
\cos^2\left(x\right) + \sin^2\left(x\right) = 1

On a donc :
\sin^2\left(x\right) = 1 -\cos^2\left(x\right)

Or :
\cos\left(x\right) = \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

On obtient donc :
\begin{aligned}\sin^2\left(x\right) &= 1 - \left(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\right)^2 \\ &= 1 - \dfrac{2+\sqrt{2}}{4} \\ &= \dfrac{4-2-\sqrt{2}}{4} \\ &= \dfrac{2-\sqrt{2}}{4} \end{aligned}

Ainsi, \sin\left(x\right) = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} ou \sin\left(x\right) = -\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.

Or on sait que x \in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right], donc \sin\left(x\right)\geqslant0.

Ainsi, \sin\left(x\right) ne peut pas valoir -\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} car ce nombre est négatif.

On sait que pour tout réel x :
\cos^2\left(x\right) + \sin^2\left(x\right) = 1

On a donc :
\cos^2\left(x\right) = 1 -\sin^2\left(x\right)

Or \sin\left(x\right)=-\dfrac{7}{8}.

On obtient donc :
\begin{aligned}\cos^2\left(x\right) &= = 1 - \left( -\dfrac{7}{8}\right)^2 \\ &= 1 - \dfrac{49}{64} \\ &= \dfrac{64-49}{64} \\ &= \dfrac{15}{64} \end{aligned}

Ainsi, \cos\left(x\right) = \dfrac{\sqrt{15}}{8} ou \cos\left(x\right) = -\dfrac{\sqrt{15}}{8}.

Or on sait que x \in \left[ -\pi,-\dfrac{\pi}{2}\right], donc \cos\left(x\right)\leqslant0.

Ainsi, \cos\left(x\right) ne peut pas valoir \dfrac{\sqrt{15}}{8} car ce nombre est positif.

On sait que pour tout réel x :
\cos^2\left(x\right) + \sin^2\left(x\right) = 1

On a donc :
\sin^2\left(x\right) = 1 -\cos^2\left(x\right)

Or :
\cos\left(x\right) = \dfrac{1+\sqrt{5}}{4}.

On obtient donc :
\begin{aligned}\sin^2\left(x\right) &= 1 - \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^2 \\ &= 1 - \dfrac{1+2\sqrt{5}+5}{16} \\ &= \dfrac{16-1-2\sqrt{5}-5}{16} \\ &= \dfrac{10-2\sqrt{5}}{16} \\ &=\dfrac{5-\sqrt{5}}{8}\end{aligned}

Ainsi, \sin\left(x\right) = \dfrac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}} ou \sin\left(x\right) = -\dfrac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}.

Or on sait que x \in \left[ -\pi, 0\right], donc \sin\left(x\right)\leqslant0.

Ainsi, \sin\left(x\right) ne peut pas valoir \dfrac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}} car ce nombre est positif.

On sait que pour tout réel x :
\cos^2\left(x\right) + \sin^2\left(x\right) = 1

On a donc :
\cos^2\left(x\right) = 1 -\sin^2\left(x\right)

Or :
\sin\left(x\right) = -\dfrac{1}{4}

On obtient donc :
\begin{aligned}\cos^2\left(x\right) &= 1 - \left(- \dfrac{1}{4}\right)^2 \\ &= 1 - \dfrac{1}{16} \\ &= \dfrac{16-1}{16} \\ &= \dfrac{15}{16} \end{aligned}

Ainsi, \cos\left(x\right) = \dfrac{\sqrt{15}}{4} ou \cos\left(x\right) = -\dfrac{\sqrt{15}}{4}.

Or on sait que x \in \left[ -\dfrac{\pi}{2},0\right], donc \cos\left(x\right)\geqslant0.

Ainsi, \cos\left(x\right) ne peut pas valoir -\dfrac{\sqrt{15}}{4} car ce nombre est négatif.

On sait que pour tout réel (x\) :
\cos^2\left(x\right) + \sin^2\left(x\right) = 1

On a donc :
\sin^2\left(x\right) = 1 -\cos^2\left(x\right)

Or :
\cos\left(x\right) = -\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

On obtient donc :
\begin{aligned}\sin^2\left(x\right) &= 1 - \left( -\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right)^2 \\ &= 1 - \dfrac{2-\sqrt{2}}{4} \\ &= \dfrac{4-2+\sqrt{2}}{4} \\ &= \dfrac{2+\sqrt{2}}{4} \end{aligned}

Ainsi, \sin\left(x\right) = \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} ou \sin\left(x\right) = -\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.

Or on sait que x \in \left[ \dfrac{\pi}{2},\pi\right], donc \sin\left(x\right)\geqslant0.

Ainsi, \sin\left(x\right) ne peut pas valoir -\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} car ce nombre est négatif.

On a :
\dfrac{7\pi}{6} = \dfrac{6\pi + \pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}

Or, d'après le cercle trigonométrique, on sait que :

• \cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)
• \sin\left(\pi + \dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)

Or, on a :

• \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, d'où \cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
• \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}, d'où \sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}

On a :
\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{6\pi - \pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}

Or, d'après le cercle trigonométrique, on sait que :

• \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)
• \sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)

Or, on a :

• \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, d'où \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
• \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}, d'où \sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}

On a :
\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{4\pi - \pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4}

Or, d'après le cercle trigonométrique, on sait que :

• \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)
• \sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)

Or, on a :

• \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, d'où \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}
• \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, d'où \sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

On a :
-\dfrac{3 \pi}{4}+2\pi = \dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4}

Or, d'après le cercle trigonométrique, on sait que :

• \cos\left(\pi +\dfrac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)
• \sin\left(\pi + \dfrac{\pi}{4}\right) =- \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)

Or, on a :

• \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, d'où \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}
• \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, d'où \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}

On a :
\dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{3\pi + \pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3}

Or, d'après le cercle trigonométrique :

• \cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
• \sin\left(\pi + \dfrac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)

Or, on sait que :

• \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}, d'où \cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}
• \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, d'où \sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}

On a :
-\dfrac{4\pi}{3} +2\pi =\dfrac{-4\pi+6\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}

Or, d'après le cercle trigonométrique, on sait que :

• \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
• \sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)

Or, on a :

• \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}, d'où \cos\left(-\dfrac{4\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi -\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}
• \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, d'où \sin\left(-\dfrac{4\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

On a :
\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{3\pi - \pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}

Or, d'après le cercle trigonométrique, on sait que :

• \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
• \sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)

Or, on a :

• \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}, d'où \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}
• \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, d'où \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

On a :
-\dfrac{2\pi}{3} +2\pi = \dfrac{-2\pi+6\pi}{3} = \dfrac{4 \pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3}

Or, d'après le cercle trigonométrique, on sait que :

• \cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
• \sin\left(\pi + \dfrac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)

Or, on a :

• \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}, d'où \cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi +\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}
• \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, d'où \sin\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi + \dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Pour tout x\in \mathbb{R} et pour tout k\in \mathbb{Z}, on sait que :
\cos(x+2k\pi)=\cos(x)

Ici, on cherche à calculer \cos\left(\dfrac{13\pi}{6}\right).

On remarque que :
\cos\left(\dfrac{13\pi}{6}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi+12\pi}{6}\right)
\cos\left(\dfrac{13\pi}{6}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}+2\pi\right)

D'après la propriété de périodicité du cosinus, on obtient :
\cos\left(\dfrac{13\pi}{6}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)

Or, d'après le cours :
\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Pour tout x\in \mathbb{R} et pour tout k\in \mathbb{Z}, on sait que :
\cos(x+2k\pi)=\cos(x)

Ici, on cherche à calculer \cos\left(\dfrac{25\pi}{4}\right).

On remarque que :
\cos\left(\dfrac{25\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi+24\pi}{4}\right)
\cos\left(\dfrac{25\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+3 \times 2\pi\right)

D'après la propriété de périodicité du cosinus, on obtient :
\cos\left(\dfrac{25\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)

Or, d'après le cours :
\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Pour tout x\in \mathbb{R} et pour tout k\in \mathbb{Z}, on sait que :
\sin(x+2k\pi)=\sin(x)

Ici, on cherche à calculer \sin\left(\dfrac{-3\pi}{2}\right).

On remarque que :
\sin\left(\dfrac{-3\pi}{2}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi-4\pi}{2}\right)
\sin\left(\dfrac{-3\pi}{2}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-2\pi\right)

D'après la propriété de périodicité du sinus, on obtient :
\sin\left(\dfrac{-3\pi}{2}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)

Or, d'après le cours :
\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1

Pour tout x\in \mathbb{R} et pour tout k\in \mathbb{Z}, on sait que :
\sin(x+2k\pi)=\sin(x)

Ici, on cherche à calculer \sin\left(\dfrac{37\pi}{6}\right).

On remarque que :
\sin\left(\dfrac{37\pi}{6}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi+36\pi}{6}\right)
\sin\left(\dfrac{37\pi}{6}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+3 \times 2\pi\right)

D'après la propriété de périodicité du sinus, on obtient :
\sin\left(\dfrac{37\pi}{6}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)

Or, d'après le cours :
\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}

Pour tout x\in \mathbb{R} et pour tout k\in \mathbb{Z}, on sait que :
\sin(x+2k\pi)=\sin(x)

Ici, on cherche à calculer \sin\left(\dfrac{-29\pi}{3}\right).

On remarque que :
\sin\left(\dfrac{-29\pi}{3}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi-30\pi}{3}\right)
\sin\left(\dfrac{-29\pi}{3}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-10\pi\right)
\sin\left(\dfrac{-29\pi}{3}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}+(-5)2\pi\right)

D'après la propriété de périodicité du cosinus, on obtient :
\sin\left(\dfrac{-29\pi}{3}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)

Or, d'après le cours :
\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}