On sait déterminer le cosinus et le sinus des réels associés à, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2} et \pi.
Donner la valeur de \cos \left(\dfrac{7\pi}{6}\right) et de \sin \left(\dfrac{7\pi}{6}\right).
Déterminer le réel associé utilisé
On connaît les valeurs du cosinus et du sinus de 0, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2} et \pi.
On sait que les réels associés possibles d'un réel x sont :
- -x
- \pi-x
- \pi+x
- \dfrac{\pi}{2}+x
- \dfrac{\pi}{2}-x
On détermine l'angle associé demandé en énoncé, en s'aidant éventuellement du cercle trigonométrique :
On remarque que :
\dfrac{7\pi}{6}=\pi+\dfrac{\pi}{6}
On cherche donc les valeurs de \cos \left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right) et de \sin \left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right).
Réciter la formule
D'après le cours, on connaît les formules des cosinus et sinus des réels associés suivants :
- \sin\left(-x\right)= -\sin\left(x\right) et \cos \left(-x\right) = \cos \left(x\right)
- \sin \left(\pi+x\right) = -\sin\left(x\right) et \cos \left(\pi+x\right) = -\cos \left(x\right)
- \sin \left(\pi-x\right) = \sin\left(x\right) et \cos \left(\pi-x\right) = -\cos \left(x\right)
- \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin(x) et \sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos(x)
- \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x) et \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)
On récite la formule appropriée, que l'on retrouve éventuellement à l'aide du cercle trigonométrique :
On sait que :
- \cos\left(\pi+x\right)=-\cos\left(x\right)
- \sin\left(\pi+x\right)=-\sin\left(x\right)
Rappeler la valeur connue de cos ou de sin
On connaît, d'après le cours, le cosinus et le sinus de certains réels. Ils sont résumés dans le tableau suivant :
| x | 0 | \dfrac{\pi}{6} | \dfrac{\pi}{4} | \dfrac{\pi}{3} | \dfrac{\pi}{2} | \pi |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \cos\left(x\right) | 1 | \dfrac{\sqrt3}{2} | \dfrac{\sqrt2}{2} | \dfrac{1}{2} | 0 | -1 |
| \sin\left(x\right) | 0 | \dfrac{1}{2} | \dfrac{\sqrt2}{2} | \dfrac{\sqrt3}{2} | 1 | 0 |
Or, on sait que :
- \cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt3}{2}
- \sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}
Appliquer la formule
On calcule alors la valeur demandée.
On a :
\cos\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)
Ainsi :
\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
De plus, on a :
\sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)
Ainsi :
\sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}
Si le réel associé n'apparaît pas directement, on ajoute ou on soustrait un multiple de 2\pi afin de le retrouver.