Quelle est l'expression dérivée de la fonction suivante ?
f\left(x\right) =\dfrac{ e^{x} - x}{2e^x+1}
La fonction exponentielle est strictement positive sur \mathbb{R}, donc 2e^x+1 \gt 0.
On en conclut donc que la fonction f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que quotient de fonctions dérivables sur \mathbb{R}, dont le dénominateur ne s'annule pas sur \mathbb{R}.
On remarque que f = \dfrac{u}{v} avec, pour tout réel x,
u\left(x\right)=e^x -x et v\left(x\right) =2e^x+1.
On en déduit que f' =\dfrac{u'v- uv'}{v^2} avec, pour tout réel x :
u'\left(x\right) = e^x-1 et v'\left(x\right) =2e^x
On en conclut que, pour tout réel x :
f'\left(x\right) =\dfrac{ \left(e^x-1\right)\times \left(2e^x+1\right) -\left(e^x-x\right)\times 2e^x }{\left(2e^x+1\right)^2}
f'\left(x\right) = \dfrac{ 2e^{2x}-e^x-1-2e^{2x}+2xe^x }{\left(2e^x+1\right)^2}
\forall x \in \mathbb{R} f'\left(x\right) =\dfrac{ \left(2x-1\right)e^x -1}{\left(2e^x+1\right)^2}
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right) = \left(3x+1\right)e^{2x}.
Quelle est la valeur de la dérivée de f ?
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right) = \sqrt{e^{8x}+1}.
Quelle est la valeur de la dérivée de f ?
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right) = \left(e^x+4\right)\left(e^x-1\right).
Quelle est la valeur de la dérivée de f ?
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right) = \left(e^{3x-1}-7x\right)^7.
Quelle est la valeur de la dérivée de f ?
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}^* par f\left(x\right) = \dfrac{e^x+4}{e^x-1}.
Quelle est la valeur de la dérivée de f ?