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Dernière modification : 27/10/2026 - Conforme au programme 2026-2027
Définitions
La population et la sous-population
Population
On appelle la population l'ensemble des individus étudiés.
Les enfants nés à Paris en 2000 représentent une population.
Il faut comprendre le terme « individus » au sens large. On n'étudie pas nécessairement des individus humains.
Les voitures produites dans une usine au cours du mois de février 2010 représentent également une population.
Sous-population
Une sous-population d'une population donnée est un sous-ensemble de cette population.
Les enfants nés à Paris au mois de mai 2000 représentent une sous-population des enfants nés à Paris en 2000.
L'effectif total et le caractère
Effectif total
L'effectif total est le nombre d'individus que contient la population. L'effectif d'une sous-population est le nombre d'individus qu'elle contient.
Caractère
Un caractère statistique est une caractéristique que l'on cherche à analyser dans une population.
Dans une enquête statistique portant sur les animaux domestiques des foyers français, les foyers qui hébergent un chat est un caractère statistique.
L'ensemble des individus qui présentent un caractère donné forme donc une sous-population.
Les proportions et les pourcentages
Les proportions
Proportion d'une sous-population
Soit N l'effectif total d'une population, et n l'effectif d'une sous-population. La proportion d'une sous-population dans la population est égale à \dfrac{n}{N}.
On considère une population de 25 élèves d'une classe de seconde. Dans cette classe, 12 élèves font de l'anglais. Ces élèves forment une sous-population. La proportion d'élèves qui font de l'anglais dans cette population est :
p = \dfrac{12}{25} = 0{,}48
Les pourcentages
Une proportion peut être exprimée sous forme de pourcentage.
p = \dfrac{12}{25} = 0{,}48 correspond à une proportion de \text{48 \%}, car 0{,}48 = \dfrac{48}{100}.
Le pourcentage est l'une des façons possibles d'exprimer une proportion.
Pour déterminer l'effectif correspondant à un pourcentage d'une population, on multiplie ce pourcentage par l'effectif total de la population.
Ainsi, p\text{ \%} d'une population d'effectif N correspond à :
\dfrac{p}{100} \times N
Dans une ville de 20 000 habitants, 75 % des habitants ont un animal de compagnie. Le nombre d'habitants ayant un animal de compagnie est donc :
n = \dfrac{75}{100} \times \text{20 000 = 15 000}
Les pourcentages de pourcentage
On donne P_2 \subset P_1 \subset P.
Soient p_1 la proportion de P_1 dans P et p_2 la proportion de P_2 dans P_1. La proportion de P_2 dans P est :
p = p_2 \times p_1
On considère une ville où 75 % des habitants ont un animal de compagnie. Parmi eux, 60 % ont un chien. On cherche à calculer la proportion des habitants de la ville qui ont un chien.
Le pourcentage d'habitants de la ville ayant un chien est :
p' = \dfrac{60}{100} \times \dfrac{75}{100} = \dfrac{\text{4 500}}{\text{10 000}} = \dfrac{45}{100} = \text{45 \%}
En conclusion, 45 % des habitants de la ville ont un chien.
Cette propriété est valable que l'on exprime la proportion sous forme de pourcentage ou non.
L'évolution d'un effectif
Les variations absolues et relatives
Variation absolue
Une variation absolue est une variation qui se calcule selon la formule suivante :
\text{Variation absolue} = \text{Quantité finale} - \text{Quantité initiale}
Un prix passe de 50 € à 30 €. La variation absolue du prix est de 30 - 50 soit -20 €. On dit alors que le prix a diminué de 20 €.
Variation relative
La variation relative entre deux quantités se calcule selon la formule suivante :
\text{Variation relative } = \dfrac{\text{Quantité finale} - \text{Quantité initiale}}{\text{Quantité initiale}}
Un prix passe de 50 € à 30 €.
La variation relative est de :
\dfrac{30-50}{50} = \dfrac{-20}{50} = - \dfrac{2}{5} = -0{,}4 = - \dfrac{40}{100} = -\text{40 \%}
Le taux d'évolution est de -40 %. Il est donc négatif, donc le prix a diminué de 40 %.
La variation relative est aussi appelée « taux d'évolution ».
Les coefficients multiplicateurs
Coefficients multiplicateurs
Soit une quantité qui passe d'une valeur initiale V_1 (non nulle) à une valeur finale V_2. On appelle coefficient multiplicateur de cette évolution le quotient :
$$CM = \dfrac{V_2}{V_1}$$
On a donc V_2 = CM \times V_1.
Un prix passe de 50 € à 30 €. Le coefficient multiplicateur de cette évolution est :
$$CM = \dfrac{30}{50} = 0{,}6$$
On vérifie que 50 \times 0{,}6 = 30.
Un coefficient multiplicateur est toujours strictement positif.
- Si CM > 1, la quantité a augmenté.
- Si CM < 1, la quantité a diminué.
- Si CM = 1, la quantité n'a pas changé.
Soit t le taux d'évolution (variation relative) d'une quantité qui passe de V_1 à V_2, et CM son coefficient multiplicateur. Alors :
$$CM = 1 + t \qquad \text{et} \qquad t = CM - 1$$
Un prix passe de 50 € à 30 €. On a vu que son taux d'évolution est t = -0{,}4, soit -40 %. Son coefficient multiplicateur est donc :
$$CM = 1 + t = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$$
On retrouve bien \dfrac{30}{50} = 0{,}6.
Une population passe de 2 000 à 2 500 habitants. Son coefficient multiplicateur est CM = \dfrac{2,500}{2,000} = 1{,}25. Son taux d'évolution est donc t = CM - 1 = 0{,}25, soit une augmentation de 25 %.
- Augmenter un nombre de p \text{ \%} revient à la multiplier par \left(1 + \dfrac{p}{100}\right).
- Diminuer un nombre de p\text{ \%} revient à la multiplier par \left(1 - \dfrac{p}{100}\right).
Une population de 2 000 habitants voit son effectif augmenter de 25 %. Son nouvel effectif, noté n', est de :
n'= \text{2 000} \times \left(1 + \dfrac{25}{100}\right) = \text{2 000} \times \dfrac{125}{100} = \text{2 000} \times 1{,}25 = \text{2 500}
Réciproquement, multiplier une quantité par \left(1 + \dfrac{p}{100}\right) ou \left(1 - \dfrac{p}{100}\right) revient à l'augmenter (ou diminuer) de p\text{ \%}. Pour retrouver le taux d'évolution à partir d'un coefficient multiplicateur, on calcule t = CM - 1 et on l'exprime en pourcentage.
Multiplier un prix par 1,04 revient à l'augmenter de 4 %.
Multiplier un prix par 0,85 revient à le diminuer de 15 %.
Le cas de plusieurs évolutions successives
Le coefficient multiplicateur de l'évolution globale correspondant à plusieurs évolutions successives est égal au produit des coefficients multiplicateurs intermédiaires.
Un placement à la banque rapporte 2 % d'intérêts la première année, puis 3 % d'intérêts la deuxième année.
On appelle C le capital d'argent placé initialement à la banque. À l'issue de la première année, le capital a été augmenté de 2 %. Le capital obtenu après la première année, C_1, est donc :
C_1 = C \times \left(1 + \dfrac{2}{100}\right)
À l'issue de la deuxième année, le capital a augmenté de 3 %, mais le point de départ n'est plus le capital initial C, mais le nouveau capital C_1. On obtient donc :
C_2 = C_1 \times \left(1 + \dfrac{3}{100}\right) = C \times \left(1 + \dfrac{2}{100}\right)\times \left(1 + \dfrac{3}{100}\right)
Pour obtenir le capital final, on a donc multiplié successivement par les deux coefficients multiplicateurs.
Le coefficient multiplicateur final est le produit des deux coefficients multiplicateurs intermédiaires :
\left(1 + \dfrac{2}{100}\right)\times \left(1 + \dfrac{3}{100}\right) = \dfrac{102}{100} \times \dfrac{103}{100} = \dfrac{\text{10 506}}{\text{10 000}} = 1{,}0506
Le taux d'évolution global n'est pas égal à la somme des taux d'évolution successifs.
Une population P diminue de 10 %, puis elle augmente de 10 %. Sa nouvelle population P' :
P' = P \times \left( 1 - \dfrac{10}{100}\right) \times \left( 1 + \dfrac{10}{100}\right) = P \times 0{,}9 \times 1{,}1 = P \times 0{,}99
Or, P \times 0{,}99 = P \times \left(1 - \dfrac{1}{100}\right), la population a finalement diminué de 1 %.
La raison est que lorsque l'on applique les 10 % la deuxième fois, ils s'appliquent sur une population plus grande que la population initiale. Ils représentent donc plus d'individus que les premiers 10 % d'augmentation.
L'évolution réciproque
Un t-shirt soldé à 30 % est mis en vente au un prix de 7 €.
On appelle p_i le prix initial et p_f le prix final.
La relation entre les deux prix est :
p_f = p_i \times \left( 1 - \dfrac{30}{100} \right) = p_i \times 0{,}7
Le coefficient multiplicateur est 0,7. On souhaite retrouver le prix initial.
En utilisant l'égalité ci-dessus, on a :
7 = p_i \times 0{,}7
C'est une équation linéaire du premier degré à une seule inconnue, p_i, que l'on peut résoudre par :
p_i = \dfrac{7}{0{,}7} = 10
On a divisé le prix final par le coefficient multiplicateur pour retrouver le prix initial.
Le coefficient multiplicateur c' d'une évolution réciproque est l'inverse du coefficient multiplicateur c de l'évolution initiale. Autrement dit, si c est le coefficient multiplicateur pour passer d'une quantité Q à la quantité Q', alors c'=\dfrac{1}{c} est le coefficient multiplicateur pour passer de Q' à Q.
Une population augmente de 10 %, c'est-à-dire qu'elle est multipliée par 1,10. Pour retrouver la population initiale à partir de la nouvelle population, on doit diviser par 1,10.
Si c est le coefficient multiplicateur d'une évolution et c' celui de l'évolution réciproque, alors c \times c' =1, puisqu'on revient, par définition, au point de départ.
Le taux d'évolution réciproque t' est donné par :
t' = c' - 1 = \dfrac{1}{c} - 1
Une population augmente de 60 %, c'est-à-dire qu'elle est multipliée par :
c = \left( 1 + \dfrac{60}{100} \right) = 1{,}60
Pour retrouver la population initiale à partir de la nouvelle population, on doit diviser par 1{,}60.
On a donc :
c'=\dfrac{1}{1{,}60} = 0{,}625
On multiplie la nouvelle population par 0,625 pour retrouver la population initiale. Or, 0{,}625 = 1- 0{,}375, donc le taux d'évolution réciproque est de -37,5 %.
Après une augmentation de 60 %, il faut que la nouvelle population diminue de 37,5 % pour retrouver la population initiale.
Le taux d'évolution réciproque n'est pas égal à l'opposé du taux d'évolution initial.
Un t-shirt coûtant initialement 10 € est soldé à 30 % pour arriver à un prix de 7 €. Si l'on augmente de 30 % le prix obtenu, on obtient :
\left( 1 + \dfrac{30}{100}\right) \times 7 = 1{,}3 \times 7 = 9{,}1 \not = 10
Augmenter le nouveau prix de 30 % ne permet pas de revenir au prix initial, car 30 % de 7 € ne sont pas égaux à 30 % de 10 €, ils ne correspondent pas à la même variation absolue.
Les statistiques descriptives
L'étendue
Étendue
L'étendue d'une série quantitative est égale à la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série.
Le tableau d'effectifs suivant présente les notes obtenues par un groupe d'élèves :
| Note | 5 | 8 | 9 | 10 | 10,5 | 11 | 13 | 14 | 14,5 | 16 |
| Nombre d'élèves | 1 | 3 | 5 | 6 | 2 | 5 | 6 | 1 | 2 | 1 |
L'étendue est donc de 16-5 = 11.
La médiane et les quartiles
La médiane
Médiane
On appelle médiane d'une série rangée par ordre croissant toute valeur qui partage la série en deux séries de même effectif.
La médiane est donc une valeur telle que 50 % des valeurs sont supérieures ou égales à la médiane et 50 % lui sont inférieures ou égales.
On considère une série dont les valeurs des n individus sont rangées par ordre croissant.
- Si n est impair, on prend en général pour médiane la \dfrac{n+1}{2}-ième valeur de la série ordonnée.
- Si n est pair, on prend en général pour médiane le centre de l'intervalle \left[ \dfrac{n}{2}\text{-ième valeur } ; \dfrac{n}{2} + 1\text{-ième valeur} \right].
Une médiane de la série 3, 5, 6, 11, 14, 21, 27 est la valeur 11. En effet, l'effectif est n=7, on choisit donc la valeur de rang \dfrac{7+1}{2} = 4, qui correspond à la valeur 11.
Une médiane n'est pas toujours une valeur observée dans la série statistique.
La médiane de la série 12, 13, 14, 19, 31, 41 est la valeur 16,5. En effet, l'effectif est un nombre pair n=6. On choisit donc pour valeur le centre de l'intervalle [14;19] qui est 16,5.
Et 16,5 n'est pas une valeur de la série.
Lorsque les valeurs sont présentées sous forme de tableau, on peut se servir des effectifs cumulés croissants pour déterminer la médiane.
On considère la série statistique suivante, avec un effectif total égal à 10 :
| Pointure x_i | 39 | 40 | 41 | 44 |
| Effectif n_i | 2 | 3 | 4 | 1 |
| Effectifs cumulés croissants | 2 | 5 | 9 | 10 |
L'effectif vaut 10, c'est un nombre pair. On prend comme médiane la moyenne des 5e et 6e valeurs de l'effectif cumulé. On se sert des effectifs cumulés croissants pour lire que :
- la 5e valeur est 40 ;
- la 6e valeur est 41 car 5 < 6 \leq 9.
On dit alors que la médiane est \dfrac{40+41}{2} = 40{,}5.
La médiane n'est pas très affectée par des valeurs extrêmes d'une série. Par exemple, si l'on considère les série statistiques suivantes 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 1, 2, 3, 4, 5, 6, \text{1 000 000}, les deux séries ont la même médiane (ici, 4).
Lorsqu'on ajoute ou supprime une valeur dans une série statistique, la médiane se déplace au plus jusqu'à la valeur voisine dans la série rangée par ordre croissant. Elle ne dépend pas de la grandeur de la valeur ajoutée ou supprimée, mais seulement de sa position par rapport aux autres valeurs.
On considère la série de 5 valeurs : 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 14. Sa médiane est la troisième valeur :
Me = 11
On ajoute la valeur 20. La série devient 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 14 ; 20. La nouvelle médiane est la moyenne des 3e et 4e valeurs :
\dfrac{11 + 12}{2} = 11{,}5
Elle a très peu bougé.
La médiane ne tient compte que du rang des données : une valeur très grande ou très petite la déplace au plus d'un rang. On dit qu'elle est robuste.
Les quartiles
Premier quartile
Le premier quartile est la plus petite valeur, notée Q_1, d'une série rangée par ordre croissant telle qu'au moins 25 % de l'effectif lui soit inférieur ou égal.
On considère la série suivante issue d'un échantillon de taille 8 : 3, 4, 5, 6, 11, 14, 21, 27.
Comme \dfrac{25}{100} \times 8 = 2, le premier quartile de cette série est son deuxième élément, soit 4.
On considère la série suivante issue d'un échantillon de taille 7 : 10, 12, 13, 14, 19, 31, 41.
Comme \dfrac{25}{100}\times 7 = 1{,}75, le premier quartile de cette série est son deuxième élément, soit 12.
Troisième quartile
Le troisième quartile est la plus petite valeur, notée Q_3, d'une série rangée par ordre croissant, telle qu'au moins 75 % de l'effectif lui soit inférieur ou égal.
On considère la série suivante issue d'un échantillon de taille 8 : 3, 4, 5, 6, 11, 14, 21, 27.
Comme \dfrac{75}{100} \times 8 = 6, le troisième quartile de cette série est son sixième élément, soit 14.
On considère la série suivante issue d'un échantillon de taille 7 : 10, 12, 13, 14, 19, 31, 41.
Comment \dfrac{75}{100}\times 7 = 5{,}25, le troisième quartile de cette série est son sixième élément, soit 31.
Alors que la médiane n'est pas toujours une valeur observée, les quartiles sont des valeurs observées.
Lorsqu'on a un tableau avec les fréquences cumulées croissantes :
- On choisit comme premier quartile la plus petite valeur pour laquelle on obtient une fréquence cumulée croissante supérieure à 25 %.
- On choisit comme troisième quartile la plus petite valeur pour laquelle on obtient une fréquence cumulée croissante supérieure à 75 %.
On considère la série statistique suivante, avec un effectif total égal à 10.
| Pointure x_i | 39 | 40 | 41 | 44 |
| Effectif n_i | 2 | 3 | 4 | 1 |
| Effectifs cumulés croissants | 2 | 5 | 9 | 10 |
| Fréquences cumulées croissantes | 0,2 | 0,5 | 0,9 | 1 |
40 est la plus petite valeur pour laquelle la fréquence cumulée croissante est supérieure ou égale à 0{,}25 = 25 \text{ \%}. C'est donc le premier quartile.
41 est la plus petite valeur pour laquelle la fréquence cumulée croissante est supérieure ou égale à 0{,}75 = 75 \text{ \%}. C'est donc le troisième quartile.
L'écart interquartile
Écart interquartile
Soient Q_1 le premier quartile et Q_3 le troisième quartile d'une série statistique. L'écart interquartile de la série statistique est le réel Q_3 - Q_1.
L'écart interquartile de la série 3, 4, 5, 6, 11, 14, 21, 27 est la valeur 14-4 = 10.
L'écart interquartile de la série 10, 12, 13, 14, 19, 31, 41 est la valeur 31 - 12 = 19.
Les diagrammes en boîte
Diagramme en boîte
Un diagramme en boîte est une représentation mathématique. On représente, au-dessus d'un axe donnant les valeurs de la série statistique, un rectangle dont un des côtés donne la position Q_1 et dont le côté opposé donne la position de Q_3. On ajoute une marque, dans ce rectangle, pour indiquer la position de la médiane choisie. On ajoute enfin des « moustaches » aux extrémités.
Dans l'exemple précédent, on obtient le diagramme en boîte suivant :
Un diagramme en boîte peut permettre de comparer deux séries si l'on représente les diagrammes en boîte des deux séries au-dessus du même axe.
On compare deux séries statistiques à l'aide de l'un des deux couples suivants :
- Le couple moyenne – écart type : \bar{x} indique la position, \sigma la dispersion autour de la moyenne ;
- Le couple médiane – écart interquartile : Me indique la position, Q_3 - Q_1 la dispersion de la moitié centrale des valeurs.
Deux classes de 20 élèves ont passé le même contrôle. Voici leurs notes :
- Classe A : 8 ; 9 ; 9 ; 10 ; 10 ; 10 ; 11 ; 11 ; 11 ; 11 ; 12 ; 12 ; 12 ; 12 ; 13 ; 13 ; 13 ; 14 ; 14 ; 15
- Classe B : 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 10 ; 11 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19
Couple moyenne – écart type
Les deux classes ont la même moyenne : $$\bar{x} = \dfrac{230}{20} = 11{,}5$$
Mais l'écart type de la classe A est $$\sigma_A = \sqrt{3{,}25} \approx 1{,}8$$
Alors que celui de la classe B est $$\sigma_B = \sqrt{19{,}25} \approx 4{,}4$$
Les notes de la classe B sont beaucoup plus dispersées autour de la moyenne que celles de la classe A.
Couple médiane – écart interquartile
Les deux classes ont la même médiane : Me = 11{,}5, qui correspond à la moyenne des 10e et 11e valeurs.
Pour la classe A, le premier quartile est Q_1 = 10 et le troisième quartile est Q_3 = 13. L'écart interquartile vaut donc 13 - 10 = 3.
Pour la classe B, le premier quartile est Q_1 = 8 et le troisième quartile est Q_3 = 15. L'écart interquartile vaut donc 15 - 8 = 7.
La moitié centrale des notes de la classe B est donc plus dispersée : elle s'étale sur 7 points, contre seulement 3 points pour la classe A. Les notes de la classe A sont ainsi plus regroupées autour de la médiane.
Les deux classes ont le même niveau moyen, puisqu'elles ont la même moyenne et la même médiane. Cependant, la classe A est plus homogène, tandis que la classe B est plus hétérogène : elle compte des élèves en grande difficulté et d'autres très à l'aise.
Cela se voit sur les diagrammes en boîte : les médianes sont identiques, mais la boîte et les moustaches de la classe B sont plus longues, ce qui traduit une plus grande dispersion des notes.
Les diagrammes en boîte ci-dessous donnent le montant des achats (en euros) des clients de deux magasins C et D un même samedi.
La médiane du magasin C est 42 €, celle du magasin D est 55 € : la moitié des clients de D dépensent au moins 55 €, contre 42 € pour C. Les achats sont globalement plus élevés dans le magasin D.
L'écart interquartile du magasin C vaut 50 - 35 = 15 €, celui du magasin D vaut 60 - 38 = 22 €. Les montants de la moitié centrale des clients sont donc plus dispersés dans le magasin D. En revanche, l'étendue est plus grande pour C ( 70 - 20 = 50 €, contre 65 - 30 = 35 € pour D) : le magasin C a quelques achats très petits ou très grands.
Avec le couple médiane – écart interquartile, le magasin D a des achats plus élevés et un peu plus dispersés ; le magasin C a des achats plus modestes, plus resserrés au centre, mais avec des valeurs extrêmes plus marquées.
La moyenne et l'écart type
La définition de la moyenne
Moyenne
Soit une série statistique représentée par les couples (x_i; n_i) où les x_i sont les valeurs de la série et les n_i leurs effectifs respectifs. La moyenne de la série, généralement notée \bar{x}, est le réel :
\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots + n_p x_p}{n}
Le tableau d'effectifs suivant présente les notes obtenues par un groupe d'élèves :
| Note | 5 | 8 | 9 | 10 | 12,5 | 13 | 14 |
| Nombre d'élèves | 1 | 3 | 5 | 6 | 2 | 5 | 6 |
L'effectif total est 1 + 3 + 5 + 6 + 2 + 5 + 6 = 28. On peut ainsi calculer la moyenne pondérée :
\bar{x} = \dfrac{5\times 1 + 8 \times 3 + 9 \times 5 + 10 \times 6 + 12.5 \times 2 + 13 \times 5 + 14 \times 6}{28} = 11
On peut calculer la moyenne d'une série en utilisant la fréquence de chaque valeur.
On considère la série statistique suivante :
| Pointure x_i | 39 | 40 | 41 | 42 | 44 | Total |
| Effectif n_i | 2 | 3 | 5 | 1 | 1 | 12 |
| Fréquence f_i | \dfrac{2}{12} | \dfrac{3}{12} | \dfrac{5}{12} | \dfrac{1}{12} | \dfrac{1}{12} | 1 |
On calcule la moyenne :
\bar{x} = 39\times \dfrac{2}{12} + 40\times\dfrac{3}{12} + 41\times\dfrac{5}{12} + 42 \times \dfrac{1}{12} + 44 \times \dfrac{1}{12} = \dfrac{163}{4} = 40{,}75
Soit k un nombre réel.
- Si l'on multiplie toutes les valeurs de la série par k, alors la moyenne est multipliée par k.
- Si l'on ajoute k à toutes les valeurs de la série, alors la moyenne est aussi augmentée de k.
On considère la série statistique 1, 1, 2, 3. Cette série a pour moyenne 1{,}75 car \dfrac{2 \times 1 + 2 + 3 }{4} = 1{,}75.
On considère maintenant la série statistique : 2, 2, 4{,}6. Les valeurs de cette série sont obtenues en multipliant par 2 les valeurs de la série précédente, et les effectifs sont inchangés. Comme 1{,}75 \times 2 = 3{,}5, la moyenne de la nouvelle série est 3,5.
On considère la série statistique 3, 3, 5, 7. Les valeurs de cette série sont obtenues en multipliant par deux et en ajoutant un à toutes les valeurs de la première série. De plus, les effectifs sont inchangés. Sa moyenne est donc 1{,}75 \times 2 + 1= 4{,}5.
La moyenne est extrêmement sensible aux valeurs extrêmes, ce qui peut donner une mauvaise indication de la tendance d'une série statistique. Par exemple, les séries statistiques suivantes : 1, 2, 3, 4, 4, 6, 7 et 1, 2, 3, 4, 5, 6, \text{1 000 000} admettent respectivement pour moyenne 4 et \text{142 860}. La deuxième série admet donc une moyenne qui est supérieure à toutes les valeurs de la série sauf 1 000 000.
Lorsqu'on ajoute une valeur à une série statistique :
- si cette valeur est supérieure à la moyenne, la moyenne augmente ;
- si cette valeur est inférieure à la moyenne, la moyenne diminue ;
- si cette valeur est égale à la moyenne, la moyenne ne change pas.
Lorsqu'on supprime une valeur à une série statistique, c'est l'inverse :
- supprimer une valeur supérieure à la moyenne fait diminuer la moyenne
- supprimer une valeur inférieure à la moyenne la fait augmenter.
On considère la série de 5 valeurs : 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 14. Sa moyenne est \bar{x} = \dfrac{55}{5} = 11 et sa médiane est Me = 11, la troisième valeur.
On ajoute la valeur 20. La série devient 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 14 ; 20.
La nouvelle moyenne est :
\dfrac{55 + 20}{6} = \dfrac{75}{6} = 12{,}5
Elle a augmenté, car 20 est supérieur à 11.
On reprend la série 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 14, de moyenne 11, et on supprime la valeur 14. La série devient 8 ; 10 ; 11 ; 12. La nouvelle moyenne est :
\dfrac{55 - 14}{4} = \dfrac{41}{4} = 10{,}25
Elle a diminué, car la valeur supprimée était supérieure à la moyenne.
Plus la valeur ajoutée ou supprimée est éloignée de la moyenne, plus la moyenne est modifiée. La moyenne tient compte de la valeur de chaque donnée : une seule valeur très grande ou très petite peut la déplacer fortement. On dit qu'elle est sensible aux valeurs extrêmes.
On reprend la série 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 14, de moyenne 11, et on ajoute cette fois la valeur 1 000.
La nouvelle moyenne est :
\dfrac{55 + 1\ 000}{6} = \dfrac{1\ 055}{6} \approx 175{,}8
Elle est devenue supérieure à toutes les valeurs de la série sauf la dernière : elle ne représente plus la série.
La variance et l'écart type
Variance d'une série statistique
On appelle variance d'une série statistique, notée V, le réel :
V = \dfrac{n_1(x_1 - \bar{x})^2 + \ldots + n_p(x_p - \bar{x})^2}{N}
On peut résumer la formule à l'aide de l'écriture \sum d'une somme automatique :
V = \dfrac{1}{N} \sum_{i =1}^{p} n_i (x_i - \bar{x})^2
où les x_i sont les valeurs de la série, les n_i leurs effectifs respectifs, N l'effectif total, et \bar{x} la moyenne pondérée.
On considère la série suivante d'effectif total n=12 et de moyenne \bar{x}=40{,}75.
| Pointure x_i | 39 | 40 | 41 | 42 | 44 | Total |
| Effectif n_i | 2 | 3 | 5 | 1 | 1 | 12 |
On peut calculer la variance de cette série statistique par :
V = \dfrac{2 \times (39 - 40{,}75)^2 + 3\times ( 40 - 40{,}75)^2 + 5\times(41 - 40{,}75)^2 + 1\times(42-40{,}75)^2 + 1\times(44-40{,}75)^2}{12} = 1{,}6875
Puisque la variance est une somme de termes mis au carré, la variance est un nombre positif.
La variance peut également être calculée par la formule suivante :
V= \dfrac{1}{N}\left( n_1 x_1^2 + n_2 x_2^2 + \ldots + n_p x_p^2\right) - \bar{x}^2
qui s'écrit à l'aide de la somme automatique \sum :
V = \dfrac{1}{N} \left( \sum_{i = i}^n n_i x_i^2\right) - \bar{x}^2
On considère la série suivante d'effectif total n=12 et de moyenne pondérée \bar{x}=40{,}75.
| Pointure x_i | 39 | 40 | 41 | 42 | 44 | Total |
| Effectif n_i | 2 | 3 | 5 | 1 | 1 | 12 |
On peut calculer la variance de cette série statistique par :
V = \dfrac{1}{12}\left(2\times 39^2 + 3\times 40^2 + 5\times 41^2 + 1\times 42^2 + 1\times 44^2\right) - 40{,}75^2 = 1{,}6875
Écart type
On définit l'écart type, noté \sigma, comme la racine carrée de la variance :
\sigma = \sqrt{V}
\sigma est bien défini puisque V\geq 0.
On considère la série statistique de variance V = 1{,}6875 :
| Pointure x_i | 39 | 40 | 41 | 42 | 44 | Total |
| Effectif n_i | 2 | 3 | 5 | 1 | 1 | 12 |
L'écart type est donc :
\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{1{,}6875} \approx 1{,}299038
La variance donne une mesure de la valeur moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Elle fournit donc une indication sur la dispersion des données par rapport à la moyenne. On ne peut pas l'utiliser directement comme indicateur de dispersion car elle ne s'exprime pas dans la même unité que les valeurs de la série. C'est pourquoi on a défini l'écart type.
Les séries regroupées en classes de même amplitude
Lorsqu'un caractère quantitatif peut prendre un très grand nombre de valeurs, par exemple une durée, une taille ou un salaire, on ne liste pas chaque valeur : on regroupe les données en classes, c'est-à-dire en intervalles. Dans toute cette partie, les classes ont la même amplitude. On ne connaît alors plus les valeurs exactes de la série, seulement l'effectif de chaque classe : la moyenne et la médiane ne peuvent plus être calculées exactement, mais seulement estimées.
On a relevé la durée, en minutes, du trajet domicile–lycée de 40 élèves. Les durées sont regroupées en 5 classes d'amplitude 10 minutes. Cet exemple sert de fil conducteur à toute la partie.
| Durée (min) | [0 ; 10[ | [10 ; 20[ | [20 ; 30[ | [30 ; 40[ | [40 ; 50[ |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 6 | 12 | 11 | 8 | 3 |
| Fréquence | 0,15 | 0,3 | 0,275 | 0,2 | 0,075 |
L'histogramme
Un histogramme est la représentation graphique d'une série regroupée en classes. Au-dessus de chaque classe, portée sur l'axe des abscisses, on trace un rectangle dont l'aire est proportionnelle à l'effectif de la classe. Lorsque les classes ont la même amplitude, les rectangles ont la même largeur : leur hauteur est alors proportionnelle à l'effectif.
Voici l'histogramme de la série des durées de trajet.
Les classes [10 ; 20[ et [20 ; 30[ sont les plus hautes : la majorité des élèves mettent entre 10 et 30 minutes.
Un histogramme n'est pas un diagramme en bâtons : les rectangles sont accolés, car chaque classe commence là où la précédente s'arrête, et c'est l'aire du rectangle qui représente l'effectif.
Le polygone des fréquences cumulées croissantes
Fréquence cumulée croissante d'une classe
La fréquence cumulée croissante d'une classe est la somme des fréquences de cette classe et de toutes les classes qui la précèdent. Elle correspond à la proportion des valeurs de la série qui sont inférieures à la borne supérieure de la classe.
Pour la série des durées de trajet, les bornes supérieures sont 10 ; 20 ; 30 ; 40 et 50. On ajout les fréquences cumulées croissantes dans le tableau :
| Durée (min) | [0 ; 10[ | [10 ; 20[ | [20 ; 30[ | [30 ; 40[ | [40 ; 50[ |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 6 | 12 | 11 | 8 | 3 |
| Fréquence | 0,15 | 0,3 | 0,275 | 0,2 | 0,075 |
| Fréquence cumulée croissante | 0,15 | 0,45 | 0,725 | 0,925 | 1 |
La fréquence cumulée croissante de la classe [20 ; 30[ est :
0{,}15 + 0{,}3 + 0{,}275 = 0{,}725
Cela signifie que 72,5 % des élèves mettent moins de 30 minutes pour venir au lycée.
Polygone des fréquences cumulées croissantes
Le polygone des fréquences cumulées croissantes est la ligne brisée qui relie les points dont l'abscisse est la borne supérieure de chaque classe et l'ordonnée la fréquence cumulée croissante de cette classe. On ajoute le point d'abscisse la borne inférieure de la première classe et d'ordonnée 0.
Voici le polygone des fréquences cumulées croissantes de la série des durées de trajet.
Relier les points par des segments revient à supposer que les valeurs sont réparties uniformément à l'intérieur de chaque classe. C'est cette hypothèse qui permettra d'estimer la médiane.
La moyenne d'une série regroupée en classes
Dans une série statistiques données en classes, on utilise le centre de chaque classe pour estimer la moyenne. Le centre d'une classe [a \ ; b[ est le nombre \dfrac{a + b}{2}.
Il s'agit d'une estimation de la moyenne, et non de sa valeur exacte.
Pour la série des durées de trajet, les centres des classes sont 5, 15, 25, 35 et 45.
On estime la moyenne par :
\bar{x} \approx \dfrac{6 \times 5 + 12 \times 15 + 11 \times 25 + 8 \times 35 + 3 \times 45}{40} = \dfrac{900}{40} = 22{,}5
La durée moyenne du trajet est estimée à 22,5 minutes.
La classe médiane et l'estimation de la médiane
Classe médiane
La classe médiane est la première classe, dans l'ordre croissant, dont la fréquence cumulée croissante est supérieure ou égale à 0,5. C'est la classe qui contient la médiane de la série.
Pour la série des durées de trajet, la moitié de l'effectif total est \dfrac{40}{2} = 20. Les effectifs cumulés croissants sont :
| Durée (min) | [0 ; 10[ | [10 ; 20[ | [20 ; 30[ | [30 ; 40[ | [40 ; 50[ |
|---|---|---|---|---|---|
| Fréquence cumulée croissante | 0,15 | 0,45 | 0,725 | 0,925 | 1 |
L'effectif cumulé atteint 20 dans la classe [20 ; 30[, puisque 18 < 20 ≤ 29. La classe médiane est donc [20 ; 30[ : la médiane des durées de trajet est comprise entre 20 et 30 minutes.
En supposant que les valeurs sont réparties uniformément dans la classe médiane, on peut estimer la médiane.
Si la classe médiane est [a \ ; b[, si N_a est l'effectif cumulé croissant juste avant cette classe, n l'effectif de cette classe et N l'effectif total, alors :
Me \approx a + \dfrac{\dfrac{N}{2} - N_a}{n} \times (b - a)
Pour la série des durées de trajet, la classe médiane est [20 ; 30[, d'effectif 11. L'effectif cumulé croissant juste avant cette classe est 18, et la moitié de l'effectif total est 20.
Il manque donc 20 - 18 = 2 élèves pour atteindre la moitié de l'effectif, à prendre parmi les 11 élèves de la classe médiane.
On estime la médiane par :
Me \approx 20 + \dfrac{2}{11} \times 10 \approx 21{,}8
La médiane des durées de trajet est estimée à environ 21,8 minutes.
On retrouve cette estimation graphiquement sur le polygone des fréquences cumulées croissantes : c'est l'abscisse du point du polygone d'ordonnée 0,5. Sur la figure, on lit bien Me \approx 21{,}8.
Comme pour la moyenne, il s'agit d'une estimation : la vraie médiane dépend de la répartition réelle des valeurs dans la classe [20 ; 30[, que l'on ne connaît pas.