Dans une série statistique discrète
La médiane d'une série statistique est la valeur qui sépare la série (ordonnée en valeurs croissantes) en deux groupes de même effectif.
Afin de la déterminer dans une série statistique discrète, le plus simple est de s'aider d'un tableau.
On donne les différentes notes obtenues par les élèves d'une classe lors d'un contrôle. Déterminer la médiane, le premier quartile et le troisième quartile.
5-12-11-10-6-17-11-12-10-13-9-11-12-8-7-10-11-10-12-11-9-10-8-11
Construire le tableau statistique
On ordonne la série statistique dans un tableau en classant les valeurs par ordre croissant et on note les effectifs dans une deuxième ligne.
On classe la série en valeurs croissantes et on note les effectifs dans un tableau :
| x_i | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 17 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n_i | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 5 | 6 | 4 | 1 | 1 |
Calculer les effectifs cumulés croissants
On ajoute, dans le tableau, une ligne pour les effectifs cumulés croissants.
En ajoutant une ligne pour les effectifs cumulés croissants, on obtient le tableau suivant :
| x_i | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 17 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n_i | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 5 | 6 | 4 | 1 | 1 |
| E.C.C. | 1 | 2 | 3 | 5 | 7 | 12 | 18 | 22 | 23 | 24 |
Déterminer la médiane
Deux cas se présentent :
- Si l'effectif total N est pair, la médiane est la moyenne des \dfrac{N}{2} ème et \left(\dfrac{N}{2}+1\right) ème valeurs.
- Si l'effectif total N est impair, la médiane est la \left(\dfrac{N+1}{2}\right) ème valeur.
Ici, l'effectif total est :
N=24
N est pair. De plus, on a :
\dfrac{N}{2}=12
Ainsi, la médiane est la moyenne des 12e et 13e valeurs.
La ligne des effectifs cumulés croissants nous indique que la 12e valeur est le dernier 10 et que la 13e valeur est le premier 11. La médiane vaut donc :
m_e=10{,}5
Déterminer les quartiles
- Le premier quartile est la valeur de rang m, où m est le premier entier supérieur ou égal à \dfrac{N}{4}.
- Le troisième quartile est la valeur de rang n, où n est le premier entier supérieur ou égal à \dfrac{3 N}{4}.
On calcule donc \dfrac{N}{4} et \dfrac{3 N}{4} pour déterminer les premier et troisième quartiles.
On a :
\dfrac{N}{4}=\dfrac{24}{4}=6
Le premier quartile est donc la 6e valeur. La ligne des effectifs cumulés croissants indique que la 6e valeur est le premier 9. Ainsi :
Q_1=9
De plus :
\dfrac{3 N}{4}=\dfrac{3\times24}{4}=18
Le troisième quartile est donc la 18e valeur. La ligne des effectifs cumulés croissants indique que la 18e valeur est le dernier 11. Ainsi :
Q_3=11
Dans une série statistique continue
Il est possible de dresser la courbe des fréquences cumulées croissantes afin d'identifier la médiane et les quartiles d'une série statistique continue.
Donner la médiane, le premier quartile et le troisième quartile de la série statistique suivante :
| Classe | \left[ 5;8 \right[ | \left[8 ; 11\right[ | \left[ 11;12 \right[ | \left[ 12;15 \right[ | \left[ 15;18 \right[ | \left[ 18;20 \right[ | \left[ 20;21\right[ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 40 | 31 | 25 | 52 | 37 | 18 | 27 |
Calculer les fréquences et les fréquences cumulées croissantes
On ajoute, dans un tableau, une ligne pour les fréquences et une pour les fréquences cumulées croissantes.
On calcule l'effectif total de la série :
N = \sum_{i=0}^{p}n_i=40+31+25+52+37+18+27=230
On en déduit les fréquences et les fréquences cumulées croissantes. Après les avoir calculées, on complète le tableau :
| Classe | \left[ 5;8 \right[ | \left[8 ; 11\right[ | \left[ 11;12 \right[ | \left[ 12;15 \right[ | \left[ 15;18 \right[ | \left[ 18;20 \right[ | \left[ 20;21\right[ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 40 | 31 | 25 | 52 | 37 | 18 | 27 |
| Fréquence | 0,17 | 0,13 | 0,11 | 0,23 | 0,16 | 0,08 | 0,12 |
| F.C.C.* | 0,17 | 0,30 | 0,41 | 0,64 | 0,80 | 0,88 | 1 |
*F.C.C. = fréquences cumulées croissantes
Tracer la courbe des fréquences cumulées croissantes
Dans un repère, on place en abscisse les valeurs et en ordonnée les fréquences cumulées croissantes.
On trace alors la courbe des fréquences cumulées croissantes.
On trace la courbe des fréquences cumulées croissantes.
Déterminer graphiquement la médiane
Sur l'axe des ordonnées, on repère la fréquence cumulée croissante 50%. On rejoint horizontalement la courbe et on redescend verticalement sur l'axe des abscisses pour déterminer la valeur de la médiane.
Graphiquement, on lit m_e \approx 13.
Déterminer graphiquement les quartiles
On répète la même opération avec 25% et 75% pour déterminer la valeur du premier et troisième quartile.
Graphiquement, on lit Q_1 \approx 9{,}7 et Q_3 \approx 17.