L'espace est rapporté à un repère orthonormé \left( O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} \right).
On considère les points A\left( 1;0;3 \right) et B\left( 4;1;0 \right).
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une représentation paramétrique de la droite (AB) ?
La droite (AB) a pour vecteur directeur \overrightarrow{AB} de coordonnées (3;1;-3).
Elle passe par le point A de coordonnées (1;0;3) donc une représentation paramétrique de cette droite est :
\begin{cases} x=1+3t \cr \cr y=0+1t \cr \cr z=3-3t \end{cases}
C'est-à-dire :
\begin{cases} x=1+3t \cr \cr y=t \cr \cr z=3-3t \end{cases}
Or, les coordonnées du point B sont \left( 4;1;0 \right).
Donc la représentation paramétrique \begin{cases} x=1+3t \cr \cr y=t \cr \cr z=3-3t \end{cases} convient pour le point B également.
On en déduit qu'une représentation paramétrique de la droite (AB) est :
\begin{cases} x=1+3t \cr \cr y=t \cr \cr z=3-3t \end{cases} avec t\in\mathbb{R}
Une représentation paramétrique de la droite (AB) est :
\begin{cases} x=1+3t \cr \cr y=t \cr \cr z=3-3t \end{cases} avec t\in\mathbb{R}
On considère la droite (d) de représentation paramétrique :
\begin{cases} x=3+4t \cr \cr y=6t \cr \cr z=4-2t \end{cases} avec t\in\mathbb{R}
Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite (d) ?
Pour t=-1{,}5 on a :
\begin{cases} x=3+4\times(-1{,}5)=3+(-6)=-3 \cr \cr y=6\times(-1{,}5)=-6 \cr \cr z=4-2\times(-1{,}5)=4+3=7 \end{cases}
Or, les coordonnées du point R sont (-3;-9;7).
C'est donc le point R qui appartient à la droite (d).
C'est le point R qui appartient à la droite (d).
On considère la droite (d') de représentation paramétrique :
\begin{cases} x=-2+3k \cr \cr y=-1-2k \cr \cr z=1+k\end{cases} avec k\in\mathbb{R}
Que peut-on dire des droites (d) et (d′) ?
La droite (d) a pour représentation paramétrique :
\begin{cases} x=3+4t \cr \cr y=6t \cr \cr z=4-2t \end{cases} avec t\in\mathbb{R}
Donc un vecteur directeur de la droite (d) est \begin{pmatrix} 4 \cr\cr 6 \cr\cr -2 \end{pmatrix}.
La droite (d') a pour représentation paramétrique :
\begin{cases} x=-2+3k \cr \cr y=-1-2k \cr \cr z=1+k\end{cases} avec k\in\mathbb{R}
Donc un vecteur directeur de la droite (d') est \begin{pmatrix} 3 \cr\cr -2 \cr\cr 1 \end{pmatrix}.
On remarque que les vecteurs \begin{pmatrix} 4 \cr\cr 6 \cr\cr -2 \end{pmatrix} et \begin{pmatrix} 3 \cr\cr -2 \cr\cr 1 \end{pmatrix} ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.
On en déduit que les droites (d) et (d') ne sont ni parallèles ni confondues.
Prouvons que par ailleurs, les droites (d) et (d') ne sont pas sécantes.
Les deux droites sont sécantes si et seulement si il existe deux réels t et k tels que :
\begin{cases} 3 + 4t = -2 + 3k \cr \cr 6t = -1 - 2k \cr \cr 4 - 2t = 1 + k \end{cases}
Ce qui est équivalent à :
\begin{cases} 4t = 3k - 5 \cr \cr 6t = -2k - 1 \cr \cr -2t = k - 3 \end{cases}
Ce qui est encore équivalent, en faisant L_1+2L_3 et L_2+2L_3, à :
\begin{cases}-5k = -11 \cr \cr 2t = -7 \cr \cr -2t - k = -3 \end{cases}
Ce qui est finalement équivalent à :
\begin{cases}k=\dfrac{11}{5} \cr \cr t =\dfrac{-7}{2} \cr \cr -2t - k = -3 \end{cases}
Or, on a :
-2\times\dfrac{-7}{2}-\dfrac{11}{5}=\dfrac{24}{5}
Et on remarque que :
\dfrac{24}{5}\neq-3
On en conclut que les droites (d) et (d') ne sont pas sécantes.
Ainsi, les droites (d) et (d') ne sont ni parallèles, ni confondues, ni sécantes.
Par conséquent, ces deux droites sont non coplanaires.
Les droites (d) et (d') sont non coplanaires.
On considère le plan (P) passant par le point I(2 ; 1 ; 0) et perpendiculaire à la droite (d).
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation du plan (P) ?
Le plan (P) est perpendiculaire à la droite (d).
Donc le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 6 \cr\cr -2 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (P).
Par conséquent :
M(x;y;z)\in(P)\Leftrightarrow\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{n}=0\Leftrightarrow4(x - 2) + 6(y - 1) - 2(z - 0) = 0
Or :
4(x - 2) + 6(y - 1) - 2(z - 0)=4x+6y-2z-14
Ainsi, on a :
M(x;y;z)\in(P)\Leftrightarrow4x+6y-2z-14=0\Leftrightarrow2x+3y-z-7=0
On en conclut qu'une équation du plan (P) est 2x + 3y - z - 7 = 0.
Une équation du plan (P) est 2x + 3y - z - 7 = 0.