Déterminer l'intersection d’une sphère et d’une droite Problème

D'après le cours, une représentation paramétrique de la droite de vecteur directeur \overrightarrow{u} passant par un point A est :
\left \{ \begin{array}{rcl} x=x_A+x_u\times t \\ x=y_A+y_u\times t \\  z=z_A+x_u\times t \end{array} \right. avec t \in \mathbb{R}

D'après le cours, une équation d'une sphère de centre O et de rayon R est :
(x-x_O)^2+(y-y_O)^2+(z-z_O)^2) =r^2 

(Cette formule peut se retrouver facilement en considérant une sphère comme l'ensemble des points à distance r d'un centre O, et en utilisant la distance MO).

Ici, en remplaçant avec les données de l'énoncé, on obtient :
(x-3)^2+(y-(-1))^2+(z-1)^2 =3^2 \Leftrightarrow x^2-6x+9+y^2+2y+1+z^2-2z+1=9 \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-6x+2y-2z+2=0

Soit M \: (x;y;z) un point d'intersection de d et S.

Les coordonnées de M sont solution du système : 
\left \{ \begin{array}{rcl} x=2+t \\ y=1-t\\  z=-1+2t \\ x^2 +y^2+z^2-6x+2y-2z+2=0 \end{array} \right. avec t \in \mathbb{R}
\Leftrightarrow  \left \{ \begin{array}{rcl} x=2+t \\ y=1-t\\  z=-1+2t \\ (2+t)^2 +(1-t)^2+(-1+2t)^2-6(2+t)+2(1-t)-2(-1+2t)+2=0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow  \left \{ \begin{array}{rcl} x=2+t \\ y=1-t\\  z=-1+2t \\ 6t^2-14t=0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow  \left \{ \begin{array}{rcl} x=2+t \\ y=1-t\\  z=-1+2t \\ t=0\: ou \: t =\dfrac{7}{3} \end{array} \right.