Dans cet exercice, on se propose d'étudier la position relative de deux droites :
D_1 \: : \left \{ \begin{array}{rcl} x=3+t \\ y= -4-3t \\ z= -3-3t \end{array} \right. où t \in \mathbb{R}
D_2 \: : \left \{ \begin{array}{rcl} x= 2s \\ y= -4+3s \\ z= -1+s\end{array} \right. où s \in \mathbb{R}
Les droites D_1 et D_2 sont-elles parallèles ?
D'après le cours, deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires.
Ici, on peut déterminer rapidement les vecteurs directeurs des deux droites grâce aux représentations paramétriques :
\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 1 \cr -3 \cr -3 \end{pmatrix} est un vecteur directeur de D_1.
\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 2 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} est un vecteur directeur de D_2.
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{u} = k\times \overrightarrow{v}.
Or ici, on ne peut pas trouver de tel k (les coordonnées des vecteurs ne sont pas proportionnelles).
Les droites D_1 et D_2 ne sont donc pas parallèles.
Si le point d'intersection M de D_1 et D_2 existe, quelles sont ses coordonnées ?
M est le point d'intersection de D_1 et D_2 \Leftrightarrow M \in D_1 et M\in D_2.
On note (x;y;z) les coordonnées de M.
M appartient aux deux droites si et seulement s'il existe deux réels t et s tels que :
\left \{ \begin{array}{rcl} x=3+t \\ y=-4-3t \\ z= -3-3t \end{array} \right. et \left \{ \begin{array}{rcl} x=2s \\ y=-4+3s \\ z= -1+s \end{array} \right.
Donc :
\left \{ \begin{array}{rcl} 3+t=2s \\ -4-3t=-4+3s \\ -3-3t= -1+s \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} 3+t=2s \\ t=-s \\ -3-3t= -1+s \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} 3=3s \\ t=-s \\ -3+2s= -1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} s=1 \\ t=1 \\ s=1 \end{array} \right.
Le système a une solution, donc les droites sont sécantes et, en remplaçant s par 1, on obtient M(2;-1;0).
Les coordonnées de M sont donc (2;-1;0) .