Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit le plan \mathcal{P} donné par l'équation cartésienne x+2y-z+1 = 0.
Quel est le projeté orthogonal H du point A(1, 2, 1) sur le plan \mathcal{P} ?
- On cherche d'abord un vecteur normal à \mathcal{P} :
On peut déduire de l'équation cartésienne un vecteur \overrightarrow{n} normal au plan \mathcal{P} :
\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2 \cr\cr -1 \end{pmatrix}
- On cherche une équation paramétrique de la droite (AH) :
H étant le projeté orthogonal de A sur \mathcal{P}, (AH) coupe \mathcal{P} perpendiculairement en H.
Un vecteur directeur de (AH) est donc aussi un vecteur normal de \mathcal{P}.
\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2 \cr\cr -1 \end{pmatrix} est donc un vecteur directeur de (AH).
On peut donc écrire la représentation paramétrique suivante :
\begin{cases} x = 1 + t \cr \cr y = 2 + 2t, t\in\mathbb{R} \cr \cr z = 1 -t \end{cases}
- On cherche les coordonnées de H :
H est le point d'intersection de (AH) et \mathcal{P}. Il faut donc résoudre le système suivant :
\begin{cases}x+2y-z+1=0\\x=1+t\\y=2+2t\\z=1-t\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases}1+t+2(2+2t)-(1-t)+1=0\\x=1+t\\y=2+2t\\z=1-t\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases}1+t+4+4t-1+t+1=0\\x=1+t\\y=2+2t\\z=1-t\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases}6t+5=0\\x=1+t\\y=2+2t\\z=1-t\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases}t=-\frac{5}{6}\\x=1+t\\y=2+2t\\z=1-t\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases}t=-\frac{5}{6}\\x=1-\frac{5}{6}\\y=2+2\times \left(\frac{-5}{6}\right)\\z=1-\left(\frac{-5}{6}\right)\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases}t=-\frac{5}{6}\\x=\frac{1}{6}\\y= \frac{1}{3}\\z=\frac{11}{6}\end{cases}
On a donc : H\left(\frac{1}{6};\frac{1}{3};\frac{11}{6}\right).
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit le plan \mathcal{P} donné par l'équation cartésienne 2x-y+2z-3 = 0.
Quel est le projeté orthogonal H du point A(2, 2, -1) sur le plan \mathcal{P} ?
- On cherche d'abord un vecteur normal à \mathcal{P} :
On peut déduire de l'équation cartésienne un vecteur \overrightarrow{n} normal au plan \mathcal{P} :
\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -1 \cr\cr 2 \end{pmatrix}
- On cherche une équation paramétrique de la droite (AH) :
H étant le projeté orthogonal de A sur \mathcal{P}, (AH) coupe \mathcal{P} perpendiculairement en H.
Un vecteur directeur de (AH) est donc aussi un vecteur normal de \mathcal{P}.
\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -1 \cr\cr 2 \end{pmatrix} est donc un vecteur directeur de (AH).
On peut donc écrire la représentation paramétrique suivante :
\begin{cases} x = 2 + 2t \cr \cr y = 2 -t, t\in\mathbb{R} \cr \cr z = -1 +2t \end{cases}
- On cherche les coordonnées de H :
H est le point d'intersection de (AH) et \mathcal{P}. Il faut donc résoudre le système suivant :
\begin{cases} 2x-y+2z-3 = 0 \cr \cr x = 2 + 2t \cr \cr y = 2 -t, t\in\mathbb{R} \cr \cr z = -1 +2t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 2(2+2t)-(2-t)+2(-1+2t)-3 = 0 \cr \cr x = 2 + 2t \cr \cr y = 2 -t, t\in\mathbb{R} \cr \cr z = -1 +2t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 4 + 4t-2+t+-2 + 4t-3 = 0 \cr \cr x = 2 + 2t \cr \cr y = 2 -t, t\in\mathbb{R} \cr \cr z = -1 +2t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 9t- 3 = 0 \cr \cr x = 2 + 2t \cr \cr y = 2 -t, t\in\mathbb{R} \cr \cr z = -1 +2t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} t = \dfrac{1}{3} \cr \cr x = 2 + 2\dfrac{1}{3} \cr \cr y = 2 -\dfrac{1}{3} \cr \cr z = -1 +2\dfrac{1}{3} \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} t = \dfrac{1}{3} \cr \cr x = \dfrac{6}{3} + \dfrac{2}{3} \cr \cr y = \dfrac{6}{3} -\dfrac{1}{3} \cr \cr z = -\dfrac{3}{3} +\dfrac{2}{3} \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} t = \dfrac{1}{3} \cr \cr x = \dfrac{8}{3} \cr \cr y = \dfrac{5}{3} \cr \cr z = -\dfrac{1}{3} \end{cases}
On a donc : H\left(\frac{8}{3};\frac{5}{3};\frac{-1}{3}\right).
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit le plan \mathcal{P} donné par l'équation cartésienne \dfrac{1}{2}x-y+2z-5 = 0.
Quel est le projeté orthogonal H du point A(2, 4, 1) sur le plan \mathcal{P} ?
- On cherche d'abord un vecteur normal à \mathcal{P} :
On peut déduire de l'équation cartésienne un vecteur \overrightarrow{n} normal au plan \mathcal{P} :
\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \cr\cr -1 \cr\cr 2 \end{pmatrix}
- On cherche une équation paramétrique de la droite (AH) :
H étant le projeté orthogonal de A sur \mathcal{P}, (AH) coupe \mathcal{P} perpendiculairement en H.
Un vecteur directeur de (AH) est donc aussi un vecteur normal de \mathcal{P}.
\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \cr\cr -1 \cr\cr 2 \end{pmatrix} est donc un vecteur directeur de (AH).
On peut donc écrire la représentation paramétrique suivante :
\begin{cases} x = 2 + \dfrac{1}{2}t \cr \cr y = 4 -t, t\in\mathbb{R} \cr \cr z = 1 +2t \end{cases}
- On cherche les coordonnées de H :
H est le point d'intersection de (AH) et \mathcal{P}. Il faut donc résoudre le système suivant :
\begin{cases} \dfrac{1}{2}x - y + 2z - 5 = 0 \cr \cr x = 2 + \dfrac{1}{2}t \cr \cr y = 4 -t, t\in\mathbb{R} \cr \cr z = 1 +2t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{1}{2}\left(2+\dfrac{1}{2}t \right) - (4-t) + 2(1+2t) - 5 = 0 \cr \cr x = 2 + \dfrac{1}{2}t \cr \cr y = 4 -t, t\in\mathbb{R} \cr \cr z = 1 +2t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 1 + \dfrac{1}{4}t - 4+t + 2+4t - 5 = 0 \cr \cr x = 2 + \dfrac{1}{2}t \cr \cr y = 4 -t, t\in\mathbb{R} \cr \cr z = 1 +2t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{21}{4}t - 6 = 0 \cr \cr x = 2 + \dfrac{1}{2}t \cr \cr y = 4 -t, t\in\mathbb{R} \cr \cr z = 1 +2t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} t = \dfrac{24}{21} \cr \cr x = 2 + \dfrac{1}{2}t \cr \cr y = 4 -t, t\in\mathbb{R} \cr \cr z = 1 +2t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} t = \dfrac{8}{7} \cr \cr x = 2 + \dfrac{1}{2}\times\dfrac{8}{7} \cr \cr y = 4 -\dfrac{8}{7} \cr \cr z = 1 +2\dfrac{8}{7} \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} t = \dfrac{8}{7} \cr \cr x = \dfrac{28}{14} + \dfrac{8}{14} \cr \cr y = \dfrac{28}{7} -\dfrac{8}{7} \cr \cr z = \dfrac{7}{7} +\dfrac{16}{7} \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} t = \dfrac{8}{7} \cr \cr x = \dfrac{36}{14} \cr \cr y = \dfrac{20}{7} \cr \cr z = \dfrac{23}{7} \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} t = \dfrac{8}{7} \cr \cr x = \dfrac{18}{7} \cr \cr y = \dfrac{20}{7} \cr \cr z = \dfrac{23}{7} \end{cases}
On a donc : H\left(\frac{18}{7};\frac{20}{7};\frac{23}{7}\right).
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit le plan \mathcal{P} donné par l'équation cartésienne 3x+2y+3z-10 = 0.
Quel est le projeté orthogonal H du point A(-1, 2, 2) sur le plan \mathcal{P} ?
- On cherche d'abord un vecteur normal à \mathcal{P} :
On peut déduire de l'équation cartésienne un vecteur \overrightarrow{n} normal au plan \mathcal{P} :
\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 2 \cr\cr 3 \end{pmatrix}
- On cherche une équation paramétrique de la droite (AH) :
H étant le projeté orthogonal de A sur \mathcal{P}, (AH) coupe \mathcal{P} perpendiculairement en H.
Un vecteur directeur de (AH) est donc aussi un vecteur normal de \mathcal{P}.
\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 2 \cr\cr 3 \end{pmatrix} est donc un vecteur directeur de (AH).
On peut donc écrire la représentation paramétrique suivante :
\begin{cases} x = -1 + 3t \cr \cr y = 2 +2t, t\in\mathbb{R} \cr \cr z = 2 +3t \end{cases}
- On cherche les coordonnées de H :
H est le point d'intersection de (AH) et \mathcal{P}. Il faut donc résoudre le système suivant :
\begin{cases} 3x + 2y +3z - 10 = 0 \cr \cr x = -1 + 3t \cr \cr y = 2 +2t, t\in\mathbb{R} \cr \cr z = 2 +3t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 3(-1+3t) + 2(2+2t) +3(2+3t) - 10 = 0 \cr \cr x = -1 + 3t \cr \cr y = 2 +2t, t\in\mathbb{R} \cr \cr z = 2 +3t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} -3 + 9t + 4 + 4t +6 + 9t - 10 = 0 \cr \cr x = -1 + 3t \cr \cr y = 2 +2t, t\in\mathbb{R} \cr \cr z = 2 +3t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 22t -3 = 0 \cr \cr x = -1 + 3t \cr \cr y = 2 +2t, t\in\mathbb{R} \cr \cr z = 2 +3t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} t = \dfrac{3}{22} \cr \cr x = -1 + 3\dfrac{3}{22} \cr \cr y = 2 +2\dfrac{3}{22} \cr \cr z = 2 +3\dfrac{3}{22} \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} t = \dfrac{3}{22} \cr \cr x = -\dfrac{22}{22} + \dfrac{9}{22} \cr \cr y = \dfrac{44}{22} +\dfrac{6}{22} \cr \cr z = \dfrac{44}{22} +\dfrac{9}{22} \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} t = \dfrac{3}{22} \cr \cr x = -\dfrac{13}{22} \cr \cr y = \dfrac{50}{22} \cr \cr z = \dfrac{53}{22} \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} t = \dfrac{3}{22} \cr \cr x = -\dfrac{13}{22} \cr \cr y = \dfrac{25}{11} \cr \cr z = \dfrac{53}{22} \end{cases}
On a donc : H\left(\frac{-13}{22};\frac{25}{11};\frac{53}{22}\right).
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit le plan \mathcal{P} donné par l'équation cartésienne 2x-3y+4z-2 = 0.
Quel est le projeté orthogonal H du point A(0, 4, 1) sur le plan \mathcal{P} ?
On note H le projeté orthogonal de A sur \mathcal{P}.
- On cherche d'abord un vecteur normal à \mathcal{P} :
On peut déduire de l'équation cartésienne un vecteur \overrightarrow{n} normal au plan \mathcal{P} :
\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -3 \cr\cr 4 \end{pmatrix}
- On cherche une équation paramétrique de la droite (AH) :
H étant le projeté orthogonal de A sur \mathcal{P}, (AH) coupe \mathcal{P} perpendiculairement en H.
Un vecteur directeur de (AH) est donc aussi un vecteur normal de \mathcal{P}.
\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -3 \cr\cr 4 \end{pmatrix} est donc un vecteur directeur de (AH).
On peut donc écrire la représentation paramétrique suivante :
\begin{cases} x = 2t \cr \cr y = 4 - 3t, t\in\mathbb{R} \cr \cr z = 1 + 4t \end{cases}
- On cherche les coordonnées de H :
H est le point d'intersection de (AH) et \mathcal{P}. Il faut donc résoudre le système suivant :
\begin{cases} 2x-3y+4z-2 = 0 \cr \cr x = 2t \cr \cr y = 4 - 3t, t\in\mathbb{R} \cr \cr z = 1 + 4t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 2\times2t-3(4-3t)+4(1+4t)-2 = 0 \cr \cr x = 2t \cr \cr y = 4 - 3t, t\in\mathbb{R} \cr \cr z = 1 + 4t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 4t-12 + 9t+4 + 16t-2 = 0 \cr \cr x = 2t \cr \cr y = 4 - 3t, t\in\mathbb{R} \cr \cr z = 1 + 4t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 29t-10 = 0 \cr \cr x = 2t \cr \cr y = 4 - 3t, t\in\mathbb{R} \cr \cr z = 1 + 4t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} t = \dfrac{10}{29} \cr \cr x = 2\dfrac{10}{29} \cr \cr y = 4 - 3\dfrac{10}{29} \cr \cr z = 1 + 4\dfrac{10}{29} \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} t = \dfrac{10}{29} \cr \cr x = \dfrac{20}{29} \cr \cr y = \dfrac{116}{29} - \dfrac{30}{29} \cr \cr z = \dfrac{29}{29} + \dfrac{40}{29} \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} t = \dfrac{10}{29} \cr \cr x = \dfrac{20}{29} \cr \cr y = \dfrac{86}{29} \cr \cr z = \dfrac{69}{29} \end{cases}
On a donc : H\left(\frac{20}{29};\frac{86}{29};\frac{69}{29}\right).