On considère les droites suivantes :
La droite d_1 de vecteur directeur \overrightarrow{u} \: \begin{pmatrix} 1 \cr 2 \cr -4 \end{pmatrix} passant par le point A (1;2;14) .
La droite d_2 de vecteur directeur \overrightarrow{v} \: \begin{pmatrix} -1 \cr -1 \cr -4 \end{pmatrix} passant par le point B \: (-1; 2 ; -10) .
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à des représentations paramétriques des droites d_1 et d_2 ?
D'après le cours, on peut trouver la représentation paramétrique d'une droite grâce à un vecteur directeur et un point de la droite.
Ici, \overrightarrow{u} est un vecteur directeur de (d_1) qui passe par A.
Donc une représentation paramétrique de d_1 est :
\left \{ \begin{array}{rcl} x=x_A+tx_u \\ y=y_A+ty_u \\ z=z_A+tz_u \end{array} \right. où t \in \mathbb{R}
Donc :
d_1 \: : \: \left \{ \begin{array}{rcl} x=1+t \\ y=2+2t\\ z=14-4t \end{array} \right. où t \in \mathbb{R}
De manière analogue, on peut trouver une représentation paramétrique de d_2 :
d_2 \: : \: \left \{ \begin{array}{rcl} x=-1-t \\ y=2-t\\ z=-10-4t\end{array} \right. où t \in \mathbb{R}
Les droites d_1 et d_2 sont-elles parallèles ?
D'après le cours, deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Ici, on dispose des coordonnées des vecteurs directeurs des deux droites.
Les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires \Leftrightarrow il existe un réel k tel que \overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} 1=-k \\ 2=-k\\ -4=-4k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} k=-1 \\ k=-2\\ k=1 \end{array} \right.
Il n'y a pas de solution à ce système, donc les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires.
Les droites d_1 et d_2 ne sont donc pas parallèles.
Les droites d_1 et d_2 sont-elles sécantes ?
Si oui, déterminer les coordonnées de M point d'intersection de d_1 et d_2.
On note (x;y;z) les coordonnées de M.
M \in d_1 et M \in d_2 \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} x=1+t \\ y=2+2t\\ z=14-4t\end{array} \right. où t \in \mathbb{R} et \left \{ \begin{array}{rcl} x=-1-t' \\ y=2-t'\\ z=-10-4t'\end{array} \right. où t' \in \mathbb{R}
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} 1+t=-1-t' \\ 2+2t=2-t'\\ 14-4t=-10-4t'\end{array} \right. où t et t' \in \mathbb{R}
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} 1+t=-1-t' \\ 2-t'+2+2t'=0\\ 14-4t = -10-4t'\end{array} \right. en réalisant l'opération L_2 \leftrightarrow L_2-2L_1 où t et t' \in \mathbb{R}
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} t=2 \\ t'=-4\\ 6=6\end{array} \right. où t et t' \in \mathbb{R}
Ainsi ce système a une solution unique :
t=2, t'=-4
Pour trouver les coordonnées de M, il suffit de remplacer t par 2 dans la représentation paramétrique de d_1 :
M \: (1+2 ; 2+2\times 2 ; 14-4\times 2) = (3 ; 6 ; 6)
Les droites d_1 et d_2 sont donc sécantes et leur point d'intersection est M \: (3 ; 6 ; 6).