Etudier le parallélisme de deux plans à l'aide d'un système d'équations linéaires - Tle - Problème Mathématiques

On s'intéresse aux deux plans suivants donnés par une représentation paramétrique :

P_1 \: : \: \left \{ \begin{array}{rcl} x=1+t-t' \\ y=-2 +2t +3t' \\ z = -1+t' \end{array} \right. où t et t' \in \mathbb{R}
P_2 \: : \: \left \{ \begin{array}{rcl} x=-2-2t+2t' \\ y=4 -4t -6t' \\ z = 2-2t' \end{array} \right. où t et t' \in \mathbb{R}

Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à des couples de vecteurs non colinéaires directeurs pour chacun des deux plans ?

\overrightarrow{u_1} \: \begin{pmatrix} 1 \cr 2 \cr 0 \end{pmatrix} et \overrightarrow{u_2} \: \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} sont des vecteurs directeurs de P_1.

\overrightarrow{v_1} \: \begin{pmatrix} -2 \cr -4 \cr 0 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v_2} \: \begin{pmatrix} 2 \cr -6 \cr -2 \end{pmatrix} sont des vecteurs directeurs de P_2.

\overrightarrow{u_1} \: \begin{pmatrix} -1 \cr -2 \cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{u_2} \: \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \cr 0 \end{pmatrix} sont des vecteurs directeurs de P_1.

\overrightarrow{v_1} \: \begin{pmatrix} -1 \cr -4 \cr 0 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v_2} \: \begin{pmatrix} 2 \cr -5 \cr 0 \end{pmatrix} sont des vecteurs directeurs de P_2.

\overrightarrow{u_1} \: \begin{pmatrix} 1 \cr -2 \cr -1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{u_2} \: \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} sont des vecteurs directeurs de P_1.

\overrightarrow{v_1} \: \begin{pmatrix} -2 \cr 4 \cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v_2} \: \begin{pmatrix} 2 \cr -6 \cr -2 \end{pmatrix} sont des vecteurs directeurs de P_2.

\overrightarrow{u_1} \: \begin{pmatrix} 1 \cr 2 \cr 0 \end{pmatrix} et \overrightarrow{u_2} \: \begin{pmatrix} 1 \cr -2 \cr -1 \end{pmatrix} sont des vecteurs directeurs de P_1.

\overrightarrow{v_1} \: \begin{pmatrix} -2 \cr -4 \cr 0 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v_2} \: \begin{pmatrix} -2 \cr 4 \cr 2 \end{pmatrix} sont des vecteurs directeurs de P_2.

Les plans P_1 et P_2 sont-ils parallèles ?

Les plans P_1 et P_2 sont parallèles.

Les plans P_1 et P_2 ne sont pas parallèles.

Que peut-on dire des positions relatives des plans P_1 et P_2 ?

Les plans P_1 et P_2 sont strictement parallèles.

Les plans P_1 et P_2 sont confondus.

Les plans P_1 et P_2 sont sécants.

Les plans P_1 et P_2 n'ont pas de relation particulière.