On s'intéresse aux deux plans suivants donnés par une représentation paramétrique :
P_1 \: : \: \left \{ \begin{array}{rcl} x=1+t-t' \\ y=-2 +2t +3t' \\ z = -1+t' \end{array} \right. où t et t' \in \mathbb{R}
P_2 \: : \: \left \{ \begin{array}{rcl} x=-2-2t+2t' \\ y=4 -4t -6t' \\ z = 2-2t' \end{array} \right. où t et t' \in \mathbb{R}
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à des couples de vecteurs non colinéaires directeurs pour chacun des deux plans ?
D'après le cours, on peut trouver directement les coordonnées de vecteurs directeurs d'un plan à partir de la représentation paramétrique de ce plan.
Ainsi, par lecture de ces représentations :
\overrightarrow{u_1} \: \begin{pmatrix} 1 \cr 2 \cr 0 \end{pmatrix} et \overrightarrow{u_2} \: \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} sont des vecteurs directeurs de P_1.
\overrightarrow{v_1} \: \begin{pmatrix} -2 \cr -4 \cr 0 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v_2} \: \begin{pmatrix} 2 \cr -6 \cr -2 \end{pmatrix} sont des vecteurs directeurs de P_2.
Les plans P_1 et P_2 sont-ils parallèles ?
Pour que deux plans soient parallèles, il faut que deux droites sécantes de ces deux plans soient parallèles.
Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Ici, il nous faut donc d'abord prouver que les vecteurs directeurs que nous avons trouvés de P_1 et P_2 ne sont pas colinéaires.
\overrightarrow{u_1} et \overrightarrow{u_2} sont colinéaires \Leftrightarrow il existe k\in \mathbb{R} tel que \overrightarrow{u_1} = k\overrightarrow{u_2} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1=-k \cr 2=3k \cr 0=-k \end{pmatrix}
Ce système n'a pas de solution, donc les vecteurs \overrightarrow{u_1} et \overrightarrow{u_2} ne sont pas colinéaires.
De la même manière, on peut prouver que \overrightarrow{v_1} et \overrightarrow{v_2} ne sont pas colinéaires.
Enfin, on remarque que :
\overrightarrow{v_1} = -2\overrightarrow{u_1}
\overrightarrow{v_2} = -2\overrightarrow{u_2}
Donc deux droites sécantes de P_1 sont parallèles avec deux droites sécantes de P_2.
Les plans P_1 et P_2 sont donc parallèles.
Que peut-on dire des positions relatives des plans P_1 et P_2 ?
On sait déja d'après la question précédente que les plans P_1 et P_2 sont parallèles.
Il nous faut donc étudier si les plans sont confondus ou non.
Deux plans parallèles sont confondus si et seulement s'ils ont au moins un point en commun.
En prenant t=t'=0 dans la représentation paramétrique de P_1, on obtient le point A(1;-2;-1) de P_1.
Il suffit de vérifier si le point A appartient au plan P_2 ou non.
On cherche donc s'il existe deux réels t et t' tels que :
\left \{ \begin{array}{rcl} 1=-2-2t+2t' \\ -2=4 -4t -6t' \\ -1 = 2-2t' \end{array} \right.
Or :
\left \{ \begin{array}{rcl} 1=-2-2t+2t' \\ -2=4 -4t -6t' \\ -1 = 2-2t' \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} -2t+2t'=3 \\ 4t+6t'=6 \\ 2t' = 3 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} -2t+2t'=3 \\ 4t+6t'=6 \\ t' = \frac{3}{2} \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} -2t=3-2\times \frac{3}{2} \\ 4t=6-6\times \frac{3}{2} \\ t' = \frac{3}{2} \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} -2t=0 \\ 4t=-3 \\ t' = \frac{3}{2} \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} t=0 \\ t=\frac{-3}{4} \\ t' = \frac{3}{2} \end{array} \right.
Le système n'a pas de solution.
Donc les deux plans n'ont pas de point d'intersection.
Les plans P_1 et P_2 sont donc strictement parallèles.