Déterminer l'équation d’une sphère dont on connaît le centre et le rayon Problème

D'après le cours, les coordonnées du milieu du segment [AB] peuvent être calculées grâce à la formule suivante :
O \: \begin{pmatrix} \dfrac{x_A+x_B}{2} \cr \dfrac{y_A+y_B}{2} \cr \dfrac{z_A+z_B}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{2-2}{2} \cr \dfrac{-1-3}{2} \cr \dfrac{4+2}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cr -2 \cr 3 \end{pmatrix} 

Dans l'espace, pour calculer la valeur d'une longueur, on utilise la norme du vecteur associé.

Ici, on commence par calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AO} :
\overrightarrow{AO} \: \begin{pmatrix} x_O - x_A \cr y_O - y_A \cr z_O- z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-2 \cr -2-(-1) \cr 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \cr -1 \cr -1 \end{pmatrix} 

Le calcul de la norme donne alors :
\left\|\overrightarrow{AO}\right\| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 +(-1)^2} = \sqrt{6}

On rappelle tout d'abord qu'une sphère regroupe l'ensemble des points à équidistance r d'un centre O.

Ainsi, M \: (x;y;z) appartient à la sphère de rayon r et de centre O si et seulement si OM=r \Leftrightarrow OM^2=r^2 . 

Cette dernière formule permet de retrouver la formule du cours, d'une équation d'une sphère de centre O et de rayon r :
(x-x_O)^2+(y-y_O)^2+(z-z_O)^2=r^2

Ici, en utilisant les coordonnées de O trouvées dans la question 1 et le rayon AO trouvé dans la question 2, on obtient :
(x-0)^2+(y-(-2))^2+(z-3)^2=\sqrt{6}^2 \Leftrightarrow x^2 + y^2 +4y+4 +z^2-6z +9 = 6 \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+4y-6z+7=0