Déterminer les coordonnées d’un vecteur dans une base à l'aide d'un système d'équations linéaires - Tle - Problème Mathématiques

On considère les vecteurs :
\overrightarrow{u} \: \begin{pmatrix} 0 \cr 3 \cr -1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{v} \: \begin{pmatrix} 2 \cr -3 \cr 1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{w} \: \begin{pmatrix} 1 \cr -2 \cr 2 \end{pmatrix}

Les vecteurs \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont-ils colinéaires ?

Les vecteurs \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} ne sont pas colinéaires.

Les vecteurs \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont colinéaires.

Que peut-on dire du triplet \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} ; \overrightarrow{w}\right) ?

Le triplet (\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} ; \overrightarrow{w} ) est une base de l'espace.

Le triplet (\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} ; \overrightarrow{w} ) est coplanaire.

Le triplet (\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} ; \overrightarrow{w} ) est colinéaire.

Le triplet (\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} ; \overrightarrow{w} ) n'a pas de particularité.

Quelles sont les coordonnées du vecteur \overrightarrow{i} \: \begin{pmatrix} 1 \cr -3 \cr 4 \end{pmatrix} dans la base (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} ; \overrightarrow{w}) ?

Les coordonnées de \overrightarrow{i} dans la base (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} ; \overrightarrow{w}) sont \left(\dfrac{−1}{8} ; \dfrac{−5}{8} ; \dfrac{9}{4}\right).

Les coordonnées de \overrightarrow{i} dans la base \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} ; \overrightarrow{w}\right) sont (2 ; −1 ;3).

Les coordonnées de \overrightarrow{i} dans la base \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} ; \overrightarrow{w}\right) sont \left(\dfrac{2}{3} ; \dfrac{−1}{8} ; \dfrac{−3}{8}\right).

Les coordonnées de \overrightarrow{i} dans la base (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} ; \overrightarrow{w}) sont \left(\dfrac{9}{2} ; \dfrac{−5}{9} ; \dfrac{−1}{13}\right).