On considère les vecteurs :
\overrightarrow{u} \: \begin{pmatrix} 0 \cr 3 \cr -1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{v} \: \begin{pmatrix} 2 \cr -3 \cr 1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{w} \: \begin{pmatrix} 1 \cr -2 \cr 2 \end{pmatrix}
Les vecteurs \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont-ils colinéaires ?
D'après le cours, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que \overrightarrow{v} = k\overrightarrow{w} .
Dans notre cas, cela signifierait que k est solution du système :
\left \{ \begin{array}{rcl} x_v=kx_w\\ y_v=ky_w \\ z_v=kz_w \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} 2=k\\ -3=-2k \\ 1=2k \end{array} \right.
Un tel système n'a pas de solution.
Les vecteurs \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} ne sont donc pas colinéaires.
Que peut-on dire du triplet \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} ; \overrightarrow{w}\right) ?
Trois vecteurs peuvent être :
- colinéaires ;
- coplanaires ;
- non coplanaires, et dans ce cas ils forment une base de l'espace.
Ici, les trois vecteurs ne sont pas colinéaires d'après la question précédente.
On s'intéresse donc à la coplanarité de \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} .
D'après le cours, comme \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} ne sont pas colinéaires, si les trois vecteurs sont coplanaires cela signifie qu'il existe un couple de réels (\alpha ; \beta) tel que :
\overrightarrow{u} = \alpha\overrightarrow{v} + \beta\overrightarrow{w}
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} 0=2\alpha+\beta \\ 3=-3\alpha-2\beta \\ -1=\alpha+2\beta\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} \beta=-2\alpha \\ 3=-3\alpha-2(-2\alpha) \\ -1=\alpha+2(-2\alpha) \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} \beta=-2\alpha \\ \alpha=3 \\\alpha = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.
Ce système n'a pas de solution.
Ainsi, les vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} ne sont pas coplanaires.
Le triplet (\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} ; \overrightarrow{w} ) est donc une base de l'espace.
Quelles sont les coordonnées du vecteur \overrightarrow{i} \: \begin{pmatrix} 1 \cr -3 \cr 4 \end{pmatrix} dans la base (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} ; \overrightarrow{w}) ?
Comme (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} ; \overrightarrow{w}) est une base de l'espace, il existe un triplet de réels (x;y;z) tel que :
\overrightarrow{i} = x\overrightarrow{u} + y\overrightarrow{v} + z\overrightarrow{w}
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} 1=2y+z\\ -3=3x-3y-2z \\ 4=-x+y+2z\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} z=1-2y\\ -3=3x-3y-2+4y \\ 4=-x+y+2-4y\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} z=1-2y\\ y=-1-3x \\ 4=-x+5+9x\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} z=\dfrac{9}{4}\\ y=-\dfrac{5}{8} \\ x=-\dfrac{1}{8}\end{array} \right.
Les coordonnées de \overrightarrow{i} dans la base (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} ; \overrightarrow{w}) sont donc \left(\dfrac{-1}{8} ; \dfrac{-5}{8} ; \dfrac{9}{4}\right).