Parmi les propositions suivantes, laquelle est une représentation paramétrique de la droite \Delta passant par A\left(3;1;1\right) et de vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2 \cr\cr -1 \end{pmatrix} ?
On obtient directement la représentation paramétrique de \Delta grâce aux coordonnées de A\left(3;1;1\right) et du vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2 \cr\cr -1 \end{pmatrix} :
\Delta:\begin{cases} x=3+t \cr \cr y=1+2t \cr \cr z=1-t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une représentation paramétrique de la droite \Delta passant par A\left(2;0;-3\right) et B\left(1;2;4\right) ?
La droite \Delta passe par A\left(2;0;-3\right) et a pour vecteur directeur \overrightarrow{AB}.
On détermine les coordonnées de \overrightarrow{AB} :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \cr\cr z_B-z_1 \end{pmatrix}
Et comme A\left(2;0;-3\right) et B\left(1;-2;4\right), on a :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1-2 \cr\cr 2-0 \cr\cr 4-\left(-3\right) \end{pmatrix}, soit \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1\cr\cr 2\cr\cr 7 \end{pmatrix}
On obtient alors une représentation paramétrique de la droite \Delta passant par A\left(2;0;-3\right) et de vecteur directeur \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1\cr\cr 2\cr\cr 7 \end{pmatrix} :
\Delta:\begin{cases} x=2-t \cr \cr y=2t \cr \cr z=-3+7t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une représentation paramétrique de la droite \Delta passant par A\left(2;4;2\right) et de vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 0 \cr\cr 2 \end{pmatrix} ?
On obtient directement la représentation paramétrique de \Delta grâce aux coordonnées de A\left(2;4;2\right) et du vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 0 \cr\cr 2 \end{pmatrix} :
\Delta:\begin{cases} x=2-3t \cr \cr y=4 \cr \cr z=2+2t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une représentation paramétrique de la droite \Delta passant par A\left(-1;3;2\right) et orthogonale au plan P d'équation cartésienne 3x-y+2z-1=0 ?
La droite \Delta passe par A\left(-1;3;2\right).
De plus, \Delta est orthogonale au plan P d'équation cartésienne 3x-y+2z-1=0. Cela signifie qu'un vecteur directeur de \Delta est un vecteur normal de P.
Or, on sait qu'un vecteur normal du plan P est \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -1 \cr\cr 2 \end{pmatrix}.
On obtient donc une représentation paramétrique de \Delta qui passe par A\left(-1;3;2\right) et de vecteur directeur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -1 \cr\cr 2 \end{pmatrix} :
\Delta:\begin{cases} x=-1+3t \cr \cr y=3-t \cr \cr z=2+2t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une représentation paramétrique de la droite \Delta passant par A\left(-1;2;1\right) et B\left(0;2;-1\right) ?
La droite \Delta passe par A\left(-1;2;1\right) et a pour vecteur directeur \overrightarrow{AB}.
On détermine les coordonnées de \overrightarrow{AB} :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \cr\cr z_B-z_1 \end{pmatrix}
Et comme A\left(-1;2;1\right) et B\left(0;2;-1\right), on a :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 0-\left(-1\right) \cr\cr 2-2 \cr\cr -1-1 \end{pmatrix}, soit \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1\cr\cr 0\cr\cr -2 \end{pmatrix}
On obtient alors une représentation paramétrique de la droite \Delta passant par A\left(-1;2;1\right) et de vecteur directeur \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1\cr\cr 0\cr\cr -2 \end{pmatrix} :
\Delta:\begin{cases} x=-1+t \cr \cr y=2 \cr \cr z=1-2t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une représentation paramétrique de la droite \Delta passant par A\left(2;-1;2\right) et orthogonale au plan P d'équation cartésienne 2x+3y-z+2=0 ?
La droite \Delta passe par A\left(2;-1;2\right).
De plus, \Delta est orthogonale au plan P d'équation cartésienne 2x+3y-z+2=0. Cela signifie qu'un vecteur directeur de \Delta est un vecteur normal de P. Or, on sait qu'un vecteur normal du plan P est \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix}.
On obtient donc une représentation paramétrique de \Delta qui passe par A\left(2;-1;2\right) et de vecteur directeur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix} :
\Delta:\begin{cases} x=2+2t \cr \cr y=-1+3t \cr \cr z=2-t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une représentation paramétrique de la droite \Delta passant par A\left(2;-3;4\right) et B\left(1;4;-5\right) ?
La droite \Delta passe par A\left(2;-3;4\right) et a pour vecteur directeur \overrightarrow{AB}.
On détermine les coordonnées de \overrightarrow{AB} :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \cr\cr z_B-z_1 \end{pmatrix}
Et comme A\left(2;-3;4\right) et B\left(1;4;-5\right), on a :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1-2 \cr\cr 4-\left(-3\right) \cr\cr -5-4 \end{pmatrix}, soit \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1\cr\cr 7\cr\cr -9 \end{pmatrix}
On obtient alors une représentation paramétrique de la droite \Delta passant par A\left(2;-3;4\right) et de vecteur directeur \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1\cr\cr 7\cr\cr -9 \end{pmatrix} :
\Delta:\begin{cases} x=2-t \cr \cr y=-3+7t \cr \cr z=4-9t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une représentation paramétrique de la droite \Delta passant par A\left(-3;4;-2\right) et de vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 1 \cr\cr -1 \end{pmatrix} ?
On obtient directement la représentation paramétrique de \Delta grâce aux coordonnées de A\left(-3;4;-2\right) et du vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 1 \cr\cr -1 \end{pmatrix} :
\Delta:\begin{cases} x=-3-t \cr \cr y=4+t \cr \cr z=-2-t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une représentation paramétrique de la droite \Delta passant par A\left(0;-2;4\right) et de vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -4 \cr\cr 5 \end{pmatrix} ?
On obtient directement la représentation paramétrique de \Delta grâce aux coordonnées de A\left(0;-2;4\right) et du vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -4 \cr\cr 5 \end{pmatrix} :
\Delta:\begin{cases} x=2t \cr \cr y=-2-4t \cr \cr z=4+5t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une représentation paramétrique de la droite \Delta passant par A\left(3;-2;-1\right) et orthogonale au plan P d'équation cartésienne -x-2y+3z+1=0 ?
La droite \Delta passe par A\left(3;-2;-1\right).
De plus, \Delta est orthogonale au plan P d'équation cartésienne -x-2y+3z+1=0. Cela signifie qu'un vecteur directeur de \Delta est un vecteur normal de P. Or on sait qu'un vecteur normal du plan P est \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr -2 \cr\cr 3 \end{pmatrix}.
On obtient donc une représentation paramétrique de \Delta qui passe par A\left(3;-2;-1\right) et de vecteur directeur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr -2 \cr\cr 3 \end{pmatrix} :
\Delta:\begin{cases} x=3-t \cr \cr y=-2-2t \cr \cr z=-1+3t \end{cases}, t\in\mathbb{R}