On considère les points suivants :
- A \: (1;2;-2)
- B \: (-1;3;1)
- C \: (2;0;-2)
Ces points définissent-ils un plan ?
D'après le cours, trois points définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.
Pour déterminer l'alignement de trois points, on étudie la colinéarité de deux vecteurs formés par ces points.
Pour cela, on calcule par exemple les coordonnées de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} :
\overrightarrow{AB} \: \begin{pmatrix} x_B-x_A \cr y_B - y_A \cr z_B - z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 -1 \cr 3-2 \cr 1- (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \cr 1 \cr 3 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC} \: \begin{pmatrix} x_C-x_A \cr y_C - y_A \cr z_C - z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 -1 \cr 0-2 \cr -2- (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cr -2 \cr 0 \end{pmatrix}
Il n'existe pas de réel k tel que \overrightarrow{AB} =k \times \overrightarrow{AC} , donc les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires.
A, B et C ne sont pas alignés.
Ainsi, A, B et C définissent un unique plan.
On nomme P le plan unique auquel appartiennent les points A, B et C.
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à un vecteur \overrightarrow{u} normal à ce plan ?
D'après le cours, le vecteur \overrightarrow{u} est orthogonal au plan P si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires directeurs de ce plan.
On sait d'après la question précédente que \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont deux vecteurs non colinéaires directeurs de P.
On note \begin{pmatrix} a \cr b\cr c \end{pmatrix} les coordonnées d'un vecteur \overrightarrow{u} de l'espace.
\overrightarrow{u} est normal au plan P
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{AB} =0 \\ \overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{AC} =0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} -2a+b+3c=0 \\ a-2b=0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} 3c=-b+2a = 3b \\ a=2b \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} c=b \\ a=2b \end{array} \right.
En posant b=1 on obtient :
\overrightarrow{u} \: \begin{pmatrix} 2 \cr 1 \cr 1 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan P.
Quelle équation cartésienne du plan P peut-on en déduire ?
Comme \overrightarrow{u} \: \begin{pmatrix} 2 \cr 1 \cr 1 \end{pmatrix} est un vecteur normal à P alors, d'après le cours, le plan P admet une équation cartésienne de la forme 2x+y+z+d=0 avec d un réel à déterminer.
Comme A \in P : 2x_A + y_A + z_A +d = 0 \Leftrightarrow 2+2-2+d=0 \Leftrightarrow d = -2.
Le plan P admet donc pour équation cartésienne 2x +y +z -2 =0.
Soit D le point de coordonnées (1;3;-1) .
Quelle est l'intersection entre la droite perpendiculaire au plan P passant par D et le plan P ?
Afin d'étudier l'intersection entre un plan et une droite, une représentation paramétrique de la droite est nécessaire.
Ici, on a un point de la droite ainsi qu'un vecteur directeur, que l'on a déterminé à la question 2.
Une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire au plan P passant par d est donc :
\left \{ \begin{array}{rcl} x=1+2t \\ y=3+t \\ z=-1+t \end{array} \right. t \in \mathbb{R}
Les coordonnées (x;y;z) du point d'intersection entre cette droite et le plan P vérifient donc :
\left \{ \begin{array}{rcl} x=1+2t \\ y=3+t \\ z=-1+t \\ 2x+y+z-2=0 \end{array} \right. t \in \mathbb{R}
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} x=1+2t \\ y=3+t \\ z=-1+t \\ 2(1+2t)+3+t-1+t-2=0 \end{array} \right. t \in \mathbb{R}
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} x=\dfrac{1}{3} \\ y=\dfrac{8}{3} \\ z=\dfrac{-4}{3} \\ t=\dfrac{-1}{3} \end{array} \right. t \in \mathbb{R}
Ainsi, le point E \: \left(\dfrac{1}{3} ; \dfrac{8}{3} ; \dfrac{-4}{3} \right) est le point d'intersection entre P et la droite perpendiculaire à P passant par D.