On se propose dans cet exercice d'étudier la relation entre les points suivants :
A \: (3;2;-1)
B \: (4;5;6)
C \: (-1;5;1)
D \: (8;7;13)
Quelles sont les coordonnées de \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{AD} ?
D'après le cours, on peut calculer les coordonnées d'un vecteur défini par deux points de l'espace grâce aux coordonnées de ces points à l'aide de la formule suivante :
\overrightarrow{AB} \: \begin{pmatrix} x_B-x_A \cr y_B-y_A \cr z_B -z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-3 \cr 5-2 \cr 6 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cr 3 \cr 7 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC} \: \begin{pmatrix} x_C-x_A \cr y_C-y_A \cr z_C -z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1-3 \cr 5-2 \cr 1 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \cr 3 \cr 2 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AD} \: \begin{pmatrix} x_D-x_A \cr y_D-y_A \cr z_D -z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8-3 \cr 7-2 \cr 13 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cr 5 \cr 14 \end{pmatrix}
Ainsi :
\overrightarrow{AB} \: \begin{pmatrix} 1\cr 3 \cr 7 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC} \: \begin{pmatrix} -4\cr 3 \cr 2 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AD} \: \begin{pmatrix} 5\cr 5 \cr 14 \end{pmatrix}
Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont-ils colinéaires ?
D'après le cours, deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}.
Supposons qu'un tel réel k existe pour \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}, alors :
\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl}x_{AB}=kx_{AC} \\ y_{AB}=ky_{AC} \\z_{AB}=kz_{AC} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl}1=-4k \\ 3=3k \\7=2k \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl}k=\dfrac{-1}{4} \\ k=1 \\7=2k \end{array} \right.
Ce système n'admet pas de solution k donc les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires.
Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont donc pas colinéaires.
Que peut-on dire de la position relative des points A, B, C et D ?
Quatre points peuvent être :
- alignés ;
- coplanaires ;
- non coplanaires.
Ici, les points A, B et C ne sont pas alignés car les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires, d'après la question précédente.
On étudie donc la coplanarité des 4 points.
Pour ceci on utilise la définition de la coplanarité de 3 vecteurs :
Trois vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} tels que \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires ; sont coplanaires si et seulement s'il existe un couple de réels \alpha et \beta tels que \overrightarrow{w} = \alpha\overrightarrow{u}+\beta\overrightarrow{v}.
Supposons que deux réels \alpha et \beta existent alors, comme \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires :
\overrightarrow{AD} = \alpha\overrightarrow{AB} + \beta\overrightarrow{AC}
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} 5=\alpha-4\beta \\ 5=3\alpha+3\beta \\ 14=7\alpha+2\beta \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} \alpha=5+4\beta \\ 5=3(5+4\beta)+3\beta \\ 14=7(5+4\beta)+2\beta \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} \alpha=5+4\beta \\ 5=15+15\beta \\ 14=35+30\beta \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} \alpha=5+4\beta \\ \beta=\dfrac{-2}{3} \\ \beta=\dfrac{-21}{30} \end{array} \right.
Ce système n'admet pas de solution.
Les points A, B, C et D sont donc non coplanaires.
Par déduction, quelle est la nature du triplet (\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{AD}) ?
D'après le cours, un triplet de vecteurs non coplanaires forme une base de l'espace.
Donc (\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{AD}) forme une base de l'espace.