Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur une droite donnée par un point et un vecteur directeur Exercice

• On cherche d'abord une représentation paramétrique de la droite (d).

Grâce aux coordonnées de A et \overrightarrow{u}, on peut déduire la représentation paramétrique de (d) :
\begin{cases} x=2+t \cr \cr y=-1 - t, t\in \mathbb{R} \cr \cr z= 1-2t \end{cases}

• On cherche ensuite les coordonnées de H :

On note H(x;y;z).
H étant le projeté orthogonal de B sur (d), (AM) coupe (d) perpendiculairement en H.
Ainsi, le vecteur \overrightarrow{BH} est orthogonal au vecteur \overrightarrow{u}.
On peut trouver \overrightarrow{BH}\begin{pmatrix} x+1 \cr\cr y+1 \cr\cr z-1 \end{pmatrix}.

Il faut résoudre le système suivant :
\begin{cases} \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{BH} = 0 \cr \cr x=2+t \cr \cr y=-1 - t\cr \cr z= 1-2t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 1(x+1) + (-1)(y+1) + (-2)(z-1) = 0 \cr \cr x=2+t \cr \cr y=-1 - t\cr \cr z= 1-2t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x+1 -y-1 -2z+ 2 = 0 \cr \cr x=2+t \cr \cr y=-1 - t\cr \cr z= 1-2t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x -y -2z+ 2 = 0 \cr \cr x=2+t \cr \cr y=-1 - t\cr \cr z= 1-2t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} (2+t) -(-1-t) -2(1-2t)+ 2 = 0 \cr \cr x=2+t \cr \cr y=-1 - t\cr \cr z= 1-2t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 2+t +1+t -2+4t+ 2 = 0 \cr \cr x=2+t \cr \cr y=-1 - t\cr \cr z= 1-2t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 6t + 3 = 0 \cr \cr x=2+t \cr \cr y=-1 - t\cr \cr z= 1-2t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} t = -\dfrac{1}{2} \cr \cr x=2-\dfrac{1}{2} \cr \cr y=-1 +\dfrac{1}{2} \cr \cr z= 1+2\dfrac{1}{2} \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} t = -\dfrac{1}{2} \cr \cr x=\dfrac{3}{2} \cr \cr y=-\dfrac{1}{2} \cr \cr z= 2 \end{cases}

• On cherche d'abord une représentation paramétrique de la droite (d).

Grâce aux coordonnées de A et \overrightarrow{u}, on peut déduire la représentation paramétrique de (d) :
\begin{cases} x=1+2t \cr \cr y=2 + 3t, t\in \mathbb{R} \cr \cr z= 2-t \end{cases}

• On cherche ensuite les coordonnées de H :

On note H(x;y;z).
H étant le projeté orthogonal de B sur (d), (AM) coupe (d) perpendiculairement en H.
Ainsi, le vecteur \overrightarrow{BH} est orthogonal au vecteur \overrightarrow{u}.
On peut trouver \overrightarrow{BH}\begin{pmatrix} x-1 \cr\cr y-2 \cr\cr z-1 \end{pmatrix}.

Il faut résoudre le système suivant :
\begin{cases} \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{BH} = 0 \cr \cr x=1+2t \cr \cr y=2 + 3t\cr \cr z= 2-t \end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} 2(x-1) +3(y-2) -(z-1) = 0 \\ x=1+2t \\ y=2 + 3t\\ z= 2-t \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} 2(2t) +3(3t) -(1-t) = 0 \\ x=1+2t \\ y=2 + 3t\\ z= 2-t \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} 4t +9t -1+t = 0 \\ x=1+2t \\ y=2 + 3t\\ z= 2-t \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} 14t = 1 \\ x=1+2t \\ y=2 + 3t\\ z= 2-t \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} t = \frac{1}{14} \\ x=1+2t \\ y=2 + 3t\\ z= 2-t \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} t = \frac{1}{14} \\ x=1+\frac{2}{14} \\ y=2 + \frac{3}{14}\\ z= 2-\frac{1}{14} \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} t = \frac{1}{14} \\ x=\frac{16}{14} \\ y=\frac{31}{14}\\ z= \frac{27}{14} \end{cases}

• On cherche d'abord une représentation paramétrique de la droite (d).

Grâce aux coordonnées de A et \overrightarrow{u}, on peut déduire la représentation paramétrique de (d) :
\begin{cases} x=3t \cr \cr y=3 + 2t, t\in \mathbb{R} \cr \cr z= -1 + 3t \end{cases}

• On cherche ensuite les coordonnées de H :

On note H(x;y;z).
H étant le projeté orthogonal de B sur (d), (AM) coupe (d) perpendiculairement en H.
Ainsi, le vecteur \overrightarrow{BH} est orthogonal au vecteur \overrightarrow{u}.

On peut trouver \overrightarrow{BH}\begin{pmatrix} x-3 \cr\cr y \cr\cr z+1 \end{pmatrix}.

Il faut résoudre le système suivant :
\begin{cases} \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{BH}= 0 \cr \cr x=3t \cr \cr y=3 + 2t, t\in \mathbb{R} \cr \cr z= -1 + 3t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 3(x-3) + 2y + 3(z+1)= 0 \cr \cr x=3t \cr \cr y=3 + 2t, t\in \mathbb{R} \cr \cr z= -1 + 3t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 3x-9 + 2y + 3z+3= 0 \cr \cr x=3t \cr \cr y=3 + 2t, t\in \mathbb{R} \cr \cr z= -1 + 3t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 3x + 2y + 3z-6= 0 \cr \cr x=3t \cr \cr y=3 + 2t, t\in \mathbb{R} \cr \cr z= -1 + 3t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 3\times3t + 2(3+2t) + 3(-1+3t)-6= 0 \cr \cr x=3t \cr \cr y=3 + 2t, t\in \mathbb{R} \cr \cr z= -1 + 3t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 9t + 6+4t -3 + 9t-6= 0 \cr \cr x=3t \cr \cr y=3 + 2t, t\in \mathbb{R} \cr \cr z= -1 + 3t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 22t - 3= 0 \cr \cr x=3t \cr \cr y=3 + 2t, t\in \mathbb{R} \cr \cr z= -1 + 3t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} t= \dfrac{3}{22} \cr \cr x=3\dfrac{3}{22} \cr \cr y=3 + 2\dfrac{3}{22} \cr \cr z= -1 + 3\dfrac{3}{22} \end{cases}\\\\\Leftrightarrow \begin{cases} t= \dfrac{3}{22} \cr \cr x=\dfrac{9}{22} \cr \cr y=\dfrac{66}{22} + \dfrac{6}{22} \cr \cr z= -\dfrac{22}{22} +\dfrac{9}{22} \end{cases}\\\\\Leftrightarrow \begin{cases} t= \dfrac{3}{22} \cr \cr x=\dfrac{9}{22} \cr \cr y=\dfrac{72}{22} \cr \cr z= -\dfrac{13}{22} \end{cases}\\\\\Leftrightarrow \begin{cases} t= \dfrac{3}{22} \cr \cr x=\dfrac{9}{22} \cr \cr y=\dfrac{36}{11} \cr \cr z= -\dfrac{13}{22} \end{cases}\\

• On cherche d'abord une représentation paramétrique de la droite (d).

Grâce aux coordonnées de A et \overrightarrow{u}, on peut déduire la représentation paramétrique de (d) :
\begin{cases} x=2+t \cr \cr y=5t, t\in \mathbb{R} \cr \cr z= -3t \end{cases}

• On cherche maintenant les coordonnées de H :

On note H(x;y;z).
H étant le projeté orthogonal de B sur (d), (AM) coupe (d) perpendiculairement en H.

Ainsi, le vecteur \overrightarrow{BH} est orthogonal au vecteur \overrightarrow{u}.

On peut trouver \overrightarrow{BH}\begin{pmatrix} x \cr\cr y-2 \cr\cr z-4 \end{pmatrix}.

Il faut résoudre le système suivant :
\begin{cases} \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{BH} = 0 \cr \cr x=2+t \cr \cr y=5t\cr \cr z= -3t \end{cases}\\\begin{cases} x + 5(y-2) -3(z-4) = 0 \cr \cr x=2+t \cr \cr y=5t\cr \cr z= -3t \end{cases}\\\begin{cases} x + 5y - 10 -3z+12 = 0 \cr \cr x=2+t \cr \cr y=5t\cr \cr z= -3t \end{cases}\\\begin{cases} x + 5y -3z+2 = 0 \cr \cr x=2+t \cr \cr y=5t\cr \cr z= -3t \end{cases}\\\begin{cases} 2+t + 5\times5t -3\times(-3t)+2 = 0 \cr \cr x=2+t \cr \cr y=5t\cr \cr z= -3t \end{cases}\\\begin{cases} 2+t + 25t 9t+2 = 0 \cr \cr x=2+t \cr \cr y=5t\cr \cr z= -3t \end{cases}\\\begin{cases} 35t + 4 = 0 \cr \cr x=2+t \cr \cr y=5t\cr \cr z= -3t \end{cases}\\\begin{cases} t = -\dfrac{4}{35} \cr \cr x=2-\dfrac{4}{35} \cr \cr y=5\times\left(-\dfrac{4}{35}\right) \cr \cr z= 3\dfrac{4}{35} \end{cases}\\\\\begin{cases} t = -\dfrac{4}{35} \cr \cr x=\dfrac{70}{35}-\dfrac{4}{35} \cr \cr y=-\dfrac{20}{35} \cr \cr z= \dfrac{12}{35} \end{cases}\\\\\begin{cases} t = -\dfrac{4}{35} \cr \cr x=\dfrac{66}{35} \cr \cr y=-\dfrac{4}{7} \cr \cr z= \dfrac{12}{35} \end{cases}\\

• On cherche d'abord une représentation paramétrique de la droite (d).

Grâce aux coordonnées de A et \overrightarrow{u}, on peut déduire la représentation paramétrique de (d) :
\begin{cases} x=t \cr \cr y=-2t, t\in \mathbb{R} \cr \cr z= t \end{cases}

• On cherche maintenant les coordonnées de H :

On note H(x;y;z).
H étant le projeté orthogonal de B sur (d), (AM) coupe (d) perpendiculairement en H.
Ainsi, le vecteur \overrightarrow{BH} est orthogonal au vecteur \overrightarrow{u}.

On peut trouver \overrightarrow{BH}\begin{pmatrix} x-3 \cr\cr y-1 \cr\cr z-1 \end{pmatrix}.

Il faut résoudre le système suivant :
\begin{cases} \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{BH} = 0 \cr \cr x=t \cr \cr y=-2t\cr \cr z= t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x-3 -2(y-1) + z-1 = 0 \cr \cr x=t \cr \cr y=-2t\cr \cr z= t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x-3 -2y+2 + z-1 = 0 \cr \cr x=t \cr \cr y=-2t\cr \cr z= t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x -2y + z-2 = 0 \cr \cr x=t \cr \cr y=-2t\cr \cr z= t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} t -2\times(-2t) + t-2 = 0 \cr \cr x=t \cr \cr y=-2t\cr \cr z= t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} t +4t + t-2 = 0 \cr \cr x=t \cr \cr y=-2t\cr \cr z= t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 6t-2 = 0 \cr \cr x=t \cr \cr y=-2t, t\in \mathbb{R} \cr \cr z= t \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases}t = \dfrac{1}{3} \cr \cr x=\dfrac{1}{3} \cr \cr y=-2\dfrac{1}{3} \cr \cr z= \dfrac{1}{3} \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases}t = \dfrac{1}{3} \cr \cr x=\dfrac{1}{3} \cr \cr y=-\dfrac{2}{3} \cr \cr z= \dfrac{1}{3} \end{cases}