Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs d'un même plan, tels que :
- \left\| \overrightarrow{u} \right\| = \sqrt2
- \left\| \overrightarrow{v} \right\|= 13
- \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = -13
Quelles sont les deux mesures indirectes de l'angle \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right) ?
On sait que :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times\left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)
On en déduit que :
\cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)= \dfrac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times\left\| \overrightarrow{v} \right\| }
Or, d'après l'énoncé, on a :
- \left\| \overrightarrow{u} \right\| \times\left\| \overrightarrow{v} \right\| = 13\sqrt2
- \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = -13
Donc :
\cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)= \dfrac{-13}{13\sqrt2} =-\dfrac{\sqrt2}{2}
Grâce à la calculatrice et sa touche \text{cos}^{-1}, on obtient :
\cos \left(\dfrac{3\pi}4\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}
Mais on a également :
\cos \left(-\dfrac{3\pi}4\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}
D'après l'énoncé, la mesure de l'angle est dans le sens indirect :
C'est donc la valeur -\dfrac{3\pi}4 que l'on retient. Comme la mesure d'un angle est valable à 2\pi près, on a aussi \dfrac{5\pi}4 = -\dfrac{3\pi}4 + 2\pi comme valeur possible.
Une mesure de l'angle étudié est donc \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)=-\dfrac{3\pi}4 ou \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)=\dfrac{5\pi}4.
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs d'un même plan, tels que :
- \left\| \overrightarrow{u} \right\| = 4\sqrt5
- \left\| \overrightarrow{v} \right\|= 3\sqrt{17}
- \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 72
Quelle est une mesure indirecte de l'angle \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right) ?
On sait que :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left\| \overrightarrow{u} \right\|\times\left\| \overrightarrow{v} \right\|\times \cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)
On en déduit que :
\cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)= \dfrac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left\| \overrightarrow{u} \right\|\times\left\| \overrightarrow{v}\right\|}
Or, d'après l'énoncé, on a :
- \left\| \overrightarrow{u} \right\|\times\left\| \overrightarrow{v} \right\|= 3\sqrt{17}\times4\sqrt5 = 12 \sqrt{85}
- \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 72
Donc :
\cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)= \dfrac{6}{\sqrt{85}}
Grâce à la calculatrice et sa touche \text{cos}^{-1}, on obtient :
\cos \left(49{,}4^\circ\right)\approx\dfrac{6}{\sqrt{85}}
De plus, l'angle \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right) n'est pas dans le sens direct.
Une mesure de l'angle étudié est donc \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AI}\right)\approx -49{,}4°.
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs d'un même plan, tels que :
- \left\| \overrightarrow{u} \right\| = \sqrt{65}
- \left\| \overrightarrow{v} \right\|= 2
- \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 2
Quelle est une mesure dans le sens indirect de l'angle \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right) ?
On sait que :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= \left\| \overrightarrow{u} \right\|\times\left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)
On en déduit que :
\cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)= \dfrac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{ \left\| \overrightarrow{u} \right\|\times\left\| \overrightarrow{v} \right\|}
Or, d'après l'énoncé, on a :
- \left\| \overrightarrow{u} \right\|\times\left\| \overrightarrow{v} \right\|= 2\sqrt{65}
- \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 2
Donc :
\cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)= \dfrac{2}{2\sqrt{65}} =\dfrac{1}{\sqrt{65}}
Grâce à la calculatrice et sa touche \text{cos}^{-1}, on obtient :
\cos \left(82{,}9^\circ\right)\approx\dfrac{1}{\sqrt{65}}
De plus l'angle \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right) n'est pas dans le sens direct.
Une mesure de l'angle étudié est donc \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)\approx-82{,}9°.
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs d'un même plan, tels que :
- \left\| \overrightarrow{u} \right\| = 2\sqrt{10}
- \left\| \overrightarrow{v} \right\|= 2\sqrt2
- \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 8
Quelle est une mesure dans le sens direct de l'angle \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right) ?
On sait que :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left\| \overrightarrow{u} \right\|\times\left\| \overrightarrow{v} \right\|\times \cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)
On en déduit que :
\cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)= \dfrac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left\| \overrightarrow{u} \right\|\times\left\| \overrightarrow{v}\right\|}
Or, d'après l'énoncé, on a :
- \left\| \overrightarrow{u} \right\|\times\left\| \overrightarrow{v} \right\| = 2\sqrt{10}\times2\sqrt2 = 2\sqrt{2\times5}\times2\sqrt2 = 4 \left(\sqrt2\right)^2\times\sqrt5= 4\times2\times\sqrt5
\Rightarrow\left\| \overrightarrow{u} \right\|\times\left\| \overrightarrow{v} \right\|= 8\sqrt5 - \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 8
Donc :
\cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)= \dfrac{8}{8\sqrt5} =\dfrac{\sqrt5}{5}
Grâce à la calculatrice et sa touche \text{cos}^{-1}, on obtient :
\cos \left(63{,}4^\circ\right)\approx\dfrac{\sqrt{5}}{5}
De plus, l'angle \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right) est dans le sens direct.
Une mesure de l'angle étudié est donc \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right) \approx 63°.
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs d'un même plan, tels que :
- \left\| \overrightarrow{u} \right\| = 2\sqrt3
- \left\| \overrightarrow{v} \right\|=5
- \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 10
Quelle est une mesure dans le sens direct de l'angle \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right) ?
On sait que :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left\| \overrightarrow{u} \right\|\times\left\| \overrightarrow{v} \right\|\times \cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)
On en déduit que :
\cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)= \dfrac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left\| \overrightarrow{u} \right\|\times\left\| \overrightarrow{v}\right\|}
Or, d'après l'énoncé, on a :
- \left\| \overrightarrow{u} \right\|\times\left\| \overrightarrow{v} \right\|= 10\sqrt3
- \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 10
Donc :
\cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)= \dfrac{10}{10\sqrt3} =\dfrac{\sqrt3}{3}
Grâce à la calculatrice et sa touche \text{cos}^{-1}, on obtient :
\cos \left(54{,}7^\circ\right)\approx\dfrac{\sqrt{3}}{3}
De plus, l'angle \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right) est dans le sens direct.
Une mesure de l'angle étudié est donc \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right) \approx 55°.