Soit la pyramide ABCDS de sommet S et de base rectangulaire ABCD avec DB=AC=8, AS=3 et SC=6. H est le projeté orthogonal du sommet S sur la diagonale [AC].
Déterminer la longueur AH.
D'après le cours, si A, C et S sont trois points distincts d'un même plan, et H le projeté orthogonal du point S sur la droite (AC), alors :
\overrightarrow{AS}\cdot~\overrightarrow{AC}=\begin{cases}AH\times AC \text{ si }\overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AC}\text{ sont de même sens}\\-AH\times AC \text{ si }\overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AC}\text{ sont de sens contraires}\end{cases}
Et d'autre part, on a, d'après le cours :
\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AS}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AC} \right\|^2-\left\| \overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AC} \right\|^2\right)=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AS}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AC} \right\|^2-\left\|\overrightarrow{SC} \right\|^2\right)
Ici, on a :
- AC=8
- SC=6
- AS=3
Comme \overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AC} sont de même sens, d'après le premier point de cours, on a :
\overrightarrow{AS}\cdot~\overrightarrow{AC}=AH\times AC
\overrightarrow{AS}\cdot~\overrightarrow{AC}=AH\times 8
De plus, d'après le deuxième point de cours :
\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AS}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AC} \right\|^2-\left\|\overrightarrow{SC} \right\|^2\right)
\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\left( 3^2+8^2-6^2\right)
\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\left( 9+64-36\right)
\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\times 37
\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{37}{2}
En posant l'égalité des produits scalaires, on obtient :
AH\times 8=\dfrac{37}{2}
AH=\dfrac{37}{16}
On a donc AH=2{,}3125.
Soit la pyramide ABCDS de sommet S et de base rectangulaire ABCD avec AB=5 et BC=4, AS=4 et SC=6. H est le projeté orthogonal du sommet S sur la diagonale [AC].
Déterminer la longueur AH.
D'après le cours, si A, C et S sont trois points distincts d'un même plan, et H le projeté orthogonal du point S sur la droite (AC), alors :
\overrightarrow{AS}\cdot~\overrightarrow{AC}=\begin{cases}AH\times AC \text{ si }\overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AC}\text{ sont de même sens}\\-AH\times AC \text{ si }\overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AC}\text{ sont de sens contraires}\end{cases}
Et d'après le cours on a aussi :
\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AS}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AC} \right\|^2-\left\| \overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AC} \right\|^2\right)=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AS}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AC} \right\|^2-\left\|\overrightarrow{SC} \right\|^2\right)
Ici, on a :
AB=5 et BC=4
Donc AC=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}, puisque ABC est un triangle rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore.
- SC=6
- AS=4
Comme \overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AC} sont de même sens, d'après le premier point de cours, on a :
\overrightarrow{AS}\cdot~\overrightarrow{AC}=AH\times AC
\overrightarrow{AS}\cdot~\overrightarrow{AC}=AH\times \sqrt{41}
De plus, d'après le deuxième point de cours :
\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AS}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AC} \right\|^2-\left\|\overrightarrow{SC} \right\|^2\right)
\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\left( 4^2+\sqrt{41}^2-6^2\right)
\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\left( 16+41-36\right)
\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\times 21
\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{21}{2}
En posant l'égalité des produits scalaires, on obtient :
AH\times \sqrt{41}=\dfrac{21}{2}
On a donc AH=\dfrac{21}{2\sqrt{41}}.
Soit le parallélépipède rectangle ABCDEFGH avec AB=CD=GH=DE=8, et AD=DH=HE=AE=CB=BD=DG=CG=3. J est le projeté orthogonal du sommet F sur la diagonale [AH].
Déterminer la longueur AJ.
D'après le cours, si A, F et H sont trois points distincts d'un même plan, et J le projeté orthogonal du point F sur la droite (AH), alors :
\overrightarrow{AF}\cdot~\overrightarrow{AH}=\begin{cases}AJ\times AH \text{ si }\overrightarrow{AJ}\text{ et }\overrightarrow{AF}\text{ sont de même sens}\\-AJ\times AH \text{ si }\overrightarrow{AJ}\text{ et }\overrightarrow{AH}\text{ sont de sens contraires}\end{cases}
Et :
\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{AH}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AF}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2-\left\| \overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AH} \right\|^2\right)=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AF}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2-\left\|\overrightarrow{FH} \right\|^2\right)
Ici, on a :
AE=EH=3
Donc, AH=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2} puisque AEH est une triangle rectangle en E et :
AB=8
Donc AF=\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{73}.
De même, FH=\sqrt{73}.
Comme \overrightarrow{AJ}\text{ et }\overrightarrow{AF} sont de même sens, d'après le premier point de cours, on a :
\overrightarrow{AF}\cdot~\overrightarrow{AH}=AJ\times AH
\overrightarrow{AF}\cdot~\overrightarrow{AH}=AJ\times 3\sqrt{2}
De plus, d'après le deuxième point de cours :
\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{AH}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AF}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2-\left\|\overrightarrow{FH} \right\|^2\right)
\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{AH}=\dfrac{1}{2}\left( \sqrt{73}^2+(3\sqrt{2})^2-\sqrt{73}^2\right)
\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{AH}=\dfrac{1}{2}\left( 73+9 \times 2-73\right)
\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{AH}=\dfrac{1}{2}\times 18
\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{AH}=\dfrac{18}{2}
En posant l'égalité des produits scalaires, on obtient :
AJ\times 3\sqrt{2}=\dfrac{18}{2}=9
AJ=\dfrac{3}{\sqrt{2}}
On a donc AJ=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.
Soit la pyramide ABCS de sommet S et de base triangulaire ABC avec AB=AC=BC=10, AS=5 et SB=6. H est le projeté orthogonal du sommet S sur le côté [AB].
Déterminer la longueur AH.
D'après le cours, si A, B et S sont trois points distincts d'un même plan, et H le projeté orthogonal du point S sur la droite (AB), alors :
\overrightarrow{AS}\cdot~\overrightarrow{AB}=\begin{cases}AH\times AB \text{ si }\overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AB}\text{ sont de même sens}\\-AH\times AB \text{ si }\overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AB}\text{ sont de sens contraires}\end{cases}
Et :
\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AS}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2-\left\| \overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AB} \right\|^2\right)=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AS}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2-\left\|\overrightarrow{SB} \right\|^2\right)
Ici, on a :
- AB=AC=BC=10
- AS=5
- BS=6
Comme \overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AB} sont de même sens, d'après le premier point de cours, on a :
\overrightarrow{AS}\cdot~\overrightarrow{AB}=AH\times AB
\overrightarrow{AS}\cdot~\overrightarrow{AB}=AH\times 10
De plus, d'après le deuxième point de cours :
\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AS}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2-\left\|\overrightarrow{SB} \right\|^2\right)
\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( 5^2+10^2-6^2\right)
\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( 25+100-36\right)
\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\times 89
\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{89}{2}
En posant l'égalité des produits scalaires, on obtient :
AH\times 10=\dfrac{89}{2}
AH=\dfrac{89}{20}
On a donc AH=4{,}45.
Soit la pyramide ABCS de sommet S et de base triangulaire ABC avec AB=AC=BC=10, BS=6 et SC=11. J est le projeté orthogonal du sommet B sur le côté [SC].
Déterminer la longueur SJ. Arrondir au centième près.
D'après le cours, si B, S et C sont trois points distincts d'un même plan, et J le projeté orthogonal du point B sur la droite (SC), alors :
\overrightarrow{SB}\cdot~\overrightarrow{SC}=\begin{cases}SJ\times SC \text{ si }\overrightarrow{SJ}\text{ et }\overrightarrow{SC}\text{ sont de même sens}\\-SJ\times SC \text{ si }\overrightarrow{SJ}\text{ et }\overrightarrow{SC}\text{ sont de sens contraires}\end{cases}
Et :
\overrightarrow{SB}\cdot\overrightarrow{SC}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{SB}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{SC} \right\|^2-\left\| \overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SC} \right\|^2\right)=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{SB}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{SC} \right\|^2-\left\|\overrightarrow{BC} \right\|^2\right)
Ici, on a :
- AB=AC=BC=10
- BS=6
- SC=11
Comme \overrightarrow{SJ}\text{ et }\overrightarrow{SC} sont de même sens, d'après le premier point de cours, on a :
\overrightarrow{SJ}\cdot~\overrightarrow{SB}=SJ\times SC
\overrightarrow{SJ}\cdot~\overrightarrow{SB}=SJ\times 11
De plus, d'après le deuxième point de cours :
\overrightarrow{SB}\cdot\overrightarrow{SC}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{SB}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{SC} \right\|^2-\left\|\overrightarrow{BC} \right\|^2\right)
\overrightarrow{SB}\cdot\overrightarrow{SC}=\dfrac{1}{2}\left( 6^2+11^2-10^2\right)
\overrightarrow{SB}\cdot\overrightarrow{SC}=\dfrac{1}{2}\left( 36+121-100\right)
\overrightarrow{SB}\cdot\overrightarrow{SC}=\dfrac{1}{2}\times57
\overrightarrow{SB}\cdot\overrightarrow{SC}=\dfrac{57}{2}
En posant l'égalité des produits scalaires, on obtient :
SJ\times 11=\dfrac{57}{2}
SJ=\dfrac{57}{22}
On a donc SJ\approx2{,}59.