Dans chacun des cas suivants, calculer \left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert.
Donnée : \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{30}{\sqrt{3}}
Soient trois points A, B et C du plan. On a :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}= \left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert \times\left\Vert \overrightarrow{AC} \right\Vert \times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
Ainsi :
\left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = \dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{ \left\Vert \overrightarrow{AC} \right\Vert \times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) }
Ici, on a :
- AC = 4
- \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right)= -\dfrac{\pi}{6}
- \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{30}{\sqrt{3}}
On obtient, en remarquant que \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} :
\left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = \dfrac{\dfrac{30}{\sqrt{3}}}{ 4 \times \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) }
\left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = \dfrac{10\sqrt{3}}{ 4 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} }
\left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = \dfrac{10\sqrt{3}}{ 2\sqrt{3}}
\left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = \dfrac{10}{ 2}
Donc \left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = 5.
Donnée : \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=16\sqrt{2}
Soient trois points A, B et C du plan. On a :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}= \left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert \times\left\Vert \overrightarrow{AC} \right\Vert \times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
Ainsi :
\left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = \dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{ \left\Vert \overrightarrow{AC} \right\Vert \times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) }
Ici, on a :
- AC = 8
- \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right)= -\dfrac{\pi}{4}
- \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=16\sqrt{2}
On obtient :
\left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = \dfrac{16\sqrt{2}}{ 8 \times \cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) }
\left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = \dfrac{16\sqrt{2}}{ 8 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} }
\left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = \dfrac{16}{ 4}
Donc \left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = 4.
Donnée : \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=10
Soient trois points A, B et C du plan. On a :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}= \left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert \times\left\Vert \overrightarrow{AC} \right\Vert \times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
Ainsi :
\left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = \dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{ \left\Vert \overrightarrow{AC} \right\Vert \times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) }
Ici, on a :
- AC = 4
- \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right)= -\dfrac{\pi}{4}
- \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=10
On obtient :
\left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = \dfrac{10}{ 4 \times \cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) }
\left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = \dfrac{10}{ 4 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} }
\left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = \dfrac{10}{ 2\sqrt{2}}
Donc \left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = \dfrac{5}{\sqrt{2}}.
Donnée : \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=24
Soient trois points A, B et C du plan. On a :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}= \left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert \times\left\Vert \overrightarrow{AC} \right\Vert \times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
Ainsi :
\left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = \dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{ \left\Vert \overrightarrow{AC} \right\Vert \times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) }
Ici, on a :
- AC = 6
- \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right)= -\dfrac{\pi}{3}
- \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=24
On obtient :
\left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = \dfrac{24}{ 6 \times \cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) }
\left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = \dfrac{24}{ 6 \times \dfrac{1}{2} }
\left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = \dfrac{24}{ 3}
Donc \left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = 8.
Donnée : \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\sqrt{3}
Soient trois points A, B et C du plan. On a :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}= \left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert \times\left\Vert \overrightarrow{AC} \right\Vert \times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
Ainsi :
\left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = \dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{ \left\Vert \overrightarrow{AC} \right\Vert \times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) }
Ici, on a :
- AC = 12
- \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right)= -\dfrac{\pi}{3}
- \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\sqrt{3}
On obtient :
\left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = \dfrac{6\sqrt{3}}{ 12 \times \cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) }
\left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = \dfrac{6\sqrt{3}}{ 12 \times \dfrac{1}{2} }
\left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = \dfrac{6\sqrt{3}}{ 6}
Donc \left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert = \sqrt{3}.