Résoudre un problème de géométrie dans le plan à l'aide du produit scalaire Problème

On sait que si A, B et C sont trois points distincts du plan et que H est le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB), alors : 
\overrightarrow{AC}\cdot~\overrightarrow{AB}=\begin{cases}AH\times AB \text{ si }\overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AB}\text{ sont de même sens}\\-AH\times AB \text{ si }\overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AB}\text{ sont de sens contraires}\end{cases}

On sait également que si \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} et \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} deux vecteurs du plan, alors : 
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=xx'+yy'

Ici, dans le repère orthonormé, on a :

• A\begin{pmatrix} -1 & 1 \end{pmatrix}
• B\begin{pmatrix} 2 & 2 \end{pmatrix}
• C\begin{pmatrix} -3 & 3 \end{pmatrix}

 

Donc :

• \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} x_C-x_A \cr\cr y_C-y_A \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3-(-1) \cr\cr 3-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 2 \end{pmatrix}
• \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2-(-1) \cr\cr 2-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 1 \end{pmatrix}

 

Ainsi, on a :
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=-2\times 3+2\times 1=-6+2=-4

De plus, dans le repère orthonormé, on a :
\left\| \overrightarrow{AB} \right\|=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{\left(3\right)^2+\left(1\right)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}

Donc, comme \overrightarrow{AH} et \overrightarrow{AB} sont de sens contraires, on a :
\overrightarrow{AC}\cdot~\overrightarrow{AB}=-AH\times AB
\overrightarrow{AC}\cdot~\overrightarrow{AB}=-AH\times \sqrt{10}

En posant l'égalité des produits scalaires, on obtient :
-AH\times \sqrt{10}=-4
AH\times \sqrt{10}=4
AH=\dfrac{4}{\sqrt{10}}

Pour trouver la valeur d'un angle à l'aide du produit scalaire il est possible d'utiliser la formule : 
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC\times cos(\widehat{BAC})

Donc pour calculer la mesure de l'angle \widehat{BAC}, il faut utiliser les valeurs de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} calculés à la question précédente : 
\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -2 \cr 2 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \cr 1 \end{pmatrix}

Donc :
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -2\times 3 + 2\times1 = -4

De plus :
\left\| \overrightarrow{AB}\right\|  = \sqrt{3^2+1^2}= \sqrt{10}
\left\| \overrightarrow{AC}\right\|  = \sqrt{(-2)^2+2^2}= \sqrt{8}

Finalement : 
cos(\widehat{BAC})=\dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{AB\times AC} = \dfrac{-4}{\sqrt{8} \times \sqrt{10}} = \dfrac{-4}{\sqrt{80}}

Comme \overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 5 \cr 6 \end{pmatrix} est normale à d, elle a pour équation : 
5x+6y+c=0 où c est une constante à déterminer. 

On sait de plus que A\in d avec A (-1;1). 

Donc :
5x_A+6y_A +c =0 \Leftrightarrow 5\times (-1) + 6 \times 1 +c=0 \Leftrightarrow 1+c=0 \Leftrightarrow c=-1