Déterminer l'orthogonalité de deux vecteurs sans coordonnées de vecteurs Exercice

Soient \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} deux vecteurs non nuls du plan.
Alors, \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont orthogonaux si, et seulement si, \overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{BC}=0.

Soient trois points du plan A, B et C.

Alors :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right\|^2-\left\| \overrightarrow{AB}\right\Vert^2-\left\Vert \overrightarrow{BC}\right\|^2\right)
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2-\left\| \overrightarrow{AB}\right\Vert^2-\left\Vert \overrightarrow{BC}\right\|^2\right)
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left( AC^2-AB^2-BC^2\right)

Ici, on a :

• AB=2
• BC=3
• AC=4

En remplaçant les longueurs par leurs valeurs, on obtient :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left( 4^2-2^2-3^2\right)
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left( 16-4-9\right)
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{3}{2}

Ainsi :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}\neq0

Soient \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} deux vecteurs non nuls du plan.
Alors, \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont orthogonaux si, et seulement si, \overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{BC}=0.

Soient trois points du plan A, B et C.

Alors d'après les identités remarquables : 
\left\| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right\|^2 = \overrightarrow{AB}^2 + 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}^2  

Soit, en isolant le produit scalaire : 
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right\|^2-\left\| \overrightarrow{AB}\right\Vert^2-\left\Vert \overrightarrow{BC}\right\|^2\right)
\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2-\left\| \overrightarrow{AB}\right\Vert^2-\left\Vert \overrightarrow{BC}\right\|^2\right)
\Leftrightarrow  \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left( AC^2-AB^2-BC^2\right)

Ici, on a :

• AB=3
• BC=4
• AC=5

En remplaçant les longueurs par leurs valeurs, on obtient :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left( 5^2-3^2-4^2\right)\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left( 25-9-16\right)
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0

Ainsi :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}= 0

Soient \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} deux vecteurs non nuls du plan.
Alors, \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont orthogonaux si, et seulement si, \overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{BC}=0.

Or, par définition du produit scalaire : 
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} = AB \times BC \times \text{cos}(\widehat{ABC})  

Comme la somme des angles d'un triangle est de 180°, on a : 
 \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} = 4^2 \times 6^2 \times \text{cos}(180-66-24) = 24 \times 36 \times 0 =0 car \text{cos}(90°)=0  

Soient \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} deux vecteurs non nuls du plan.
Alors, \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont orthogonaux si, et seulement si, \overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{BC}=0.

Soient trois points du plan A, B et C.

Alors d'après les identités remarquables : 
\left\| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right\|^2 = \overrightarrow{AB}^2 + 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}^2  

Soit, en isolant le produit scalaire : 
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right\|^2-\left\| \overrightarrow{AB}\right\Vert^2-\left\Vert \overrightarrow{BC}\right\|^2\right)
\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2-\left\| \overrightarrow{AB}\right\Vert^2-\left\Vert \overrightarrow{BC}\right\|^2\right)
\Leftrightarrow  \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left( AC^2-AB^2-BC^2\right)

Ici, on a :

• AB=5
• BC=6
• AC=7

En remplaçant les longueurs par leurs valeurs, on obtient :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left( 7^2-5^2-6^2\right)
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left( 49-25-36\right)
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=-6

Ainsi :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}\neq 0

Soient \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} deux vecteurs non nuls du plan.
Alors, \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont orthogonaux si, et seulement si, \overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{BC}=0.

Soient trois points du plan A, B et C.

Alors, d'après les identités remarquables : 
\left\| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right\|^2 = \overrightarrow{AB}^2 + 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}^2  

Soit en isolant le produit scalaire : 
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right\|^2-\left\| \overrightarrow{AB}\right\Vert^2-\left\Vert \overrightarrow{BC}\right\|^2\right)
\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2-\left\| \overrightarrow{AB}\right\Vert^2-\left\Vert \overrightarrow{BC}\right\|^2\right)
\Leftrightarrow  \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left( AC^2-AB^2-BC^2\right)

Ici, on a :

• AB=\dfrac{\sqrt{60}}{2}
• BC=3\sqrt{5}
• AC=2\sqrt {15}

En remplaçant les longueurs par leurs valeurs, on obtient :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left((2\sqrt {15})²-\left( \dfrac{\sqrt{60}}{2}\right) ^2- (3\sqrt{5})^2\right)
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left( 4\times 15 - \dfrac{60}{4} -9\times 5\right)
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0