Soit ABCDEFGH, un cube de côté 1. On se place dans le repère orthonormée (A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD} ; \overrightarrow{AE}) .
On appelle I le centre de la face EFGH.
Quelle est la valeur, au degré près, de la mesure de l'angle \widehat{BID} ?
On détermine d'abord les coordonnées des points I, B et D grâce au repère orthonormé :
B \begin{pmatrix}1\cr 0 \cr 0 \end{pmatrix}
D \begin{pmatrix}0 \cr 1 \cr 0 \end{pmatrix}
I \begin{pmatrix}0{,}5 \cr 0{,}5 \cr 1 \end{pmatrix}
Grâce à ces coordonnées, on peut déterminer \overrightarrow{IB} et \overrightarrow{ID} :
\overrightarrow{IB} \begin{pmatrix} x_B - x_I \cr y_B - y_I \cr z_B - z_I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}5 \cr -0{,}5 \cr -1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{ID} \begin{pmatrix} x_D - x_I \cr y_D - y_I \cr z_D - z_I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0{,}5 \cr 0{,}5 \cr -1 \end{pmatrix}
Donc :
\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID} = 0{,}5 \times (-0{,}5) + (-0{,}5) \times 0{,}5 + (-1)\times (-1) = -0{,}25-0{,}25+1=\dfrac{1}{2}.
D'autre part, on peut aussi exprimer le produit scalaire \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID} en fonction de l'angle \widehat{BID} :
\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID} = IB \times ID \times \text{cos}(\widehat{BID})\ = \left\|\widehat{BID} \right\| \times \left\|\widehat{BID} \right\| \times \text{cos}(\widehat{BID}) = \sqrt{0{,}5^2 + (-0{,}5)^2 + (-1)^2} \times sqrt{(-0{,}5)^2 + 0{,}5^2 + (-1)^2} \times \text{cos}(\widehat{BID}) = \sqrt{\dfrac{3}{2}} \times \sqrt{\dfrac{3}{2}} \times \text{cos}(\widehat{BID}) = \dfrac{3}{2} \text{cos}(\widehat{BID})
En reprenant les deux calculs précédents, on a finalement :
\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \text{cos}(\widehat{BID}) \Leftrightarrow \text{cos}(\widehat{BID})= \dfrac{1}{3}
La calculette permet de conclure : \widehat{BID} \approx 71° .
On considère la droite (FD) et le plan passant par les points H, A et C.
Quelles sont les valeurs de \overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{AC} et \overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{HC} ?
Calcul de \overrightarrow{FD}\cdot \overrightarrow{AC} :
\overrightarrow{FD} \cdot \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{FB} + \overrightarrow{BD}) \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{FB} \cdot \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{FD}\cdot \overrightarrow{AC}
ABCDEFGH étant un cube, ses côtés sont des carrés. Donc \overrightarrow{FB} est orthogonal à \overrightarrow{AB} et à \overrightarrow{AC}.
Donc \overrightarrow{FD} est un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan ABC donc normal au plan ABC, (AC) étant une droite du plan ABC.
D'autre part, [BD] et [AC] sont les diagonales d'un carré, donc :
\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AC} = 0
Donc :
\overrightarrow{FD}\cdot \overrightarrow{AC}= 0
Calcul de \overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{HC} :
On a :
C \: (1;1;0), C \: (0;1;0), C \: (1;0;1) et C \: (0;1;1)
Ainsi :
\overrightarrow{FD} \begin{pmatrix}-1\cr 1\cr -1 \end{pmatrix}
Et :
\overrightarrow{HC} \begin{pmatrix}1\cr 0\cr -1 \end{pmatrix}
Par conséquent :
\overrightarrow{FD}\cdot \overrightarrow{HC}=-1+0+1 = 0
Finalement, on a :
\overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{HC} = 0
Quelle conclusion peut-on faire à propos de la relation entre (FD) et le plan ACH ?
D'après la question précédente, \overrightarrow{FD} est orthogonale à \overrightarrow{AC} et à \overrightarrow{HC}.
De plus, de manière évidente, \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{HC} ne sont pas colinéaires (les droites (AC) et (HC) ne sont pas parallèles).
Donc \overrightarrow{FD} est un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan ACH.
La droite (FD) est donc orthogonale au plan ACH.