Soit ABCD un losange avec pour longueurs AB=AD=11{,}5 et DB=10.
Quelle est la norme du vecteur \overrightarrow{AC} ?
On a l'identité remarquable suivante :
\left\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\|^2=\left\|\overrightarrow{u}\right\|^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\left\|\overrightarrow{v}\right\|^2
Ici, on pose :
- \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
- \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}
Or, par relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}
Donc :
\left\|\overrightarrow{AC}\right\|^2=\left\|\overrightarrow{AB}\right\|^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}+\left\|\overrightarrow{AD}\right\|^2
C'est-à-dire que :
AC^2=AB^2+2\left\|\overrightarrow{AB}\right\|\times\left\|\overrightarrow{AD}\right\|\times \cos{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}\right)}+AD^2
Comme le quadrilatère est un losange, alors on a par le théorème de Pythagore :
\sin\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}\right) = \dfrac{\dfrac{DB}{2}}{AB}
\sin\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}\right) = \dfrac{5}{11{,}5}
\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}\right) =\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}\right) \times 2 \approx -0{,}90 \text{ rad}
Donc :
AC^2=AB^2+2\left\|\overrightarrow{AB}\right\|\times\left\|\overrightarrow{AD}\right\|\times \cos{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}\right)}+AD^2
AC\approx \sqrt{11{,}5^2+2\times 11{,}5 \times 11{,}5 \times 0{,}62+ 11{,}5^2}
Ainsi, AC\approx 20{,}7.
Soient A, B et O trois points distincts du plan. On note A' le symétrique de A par rapport à O, et B' le symétrique de B par rapport à O.
On donne \left\|\overrightarrow{AB}\right\| = 14 et \overrightarrow{OA'}\cdot\overrightarrow{OB}\approx -182{,}2.
Quelle est la norme du vecteur \overrightarrow{BA'} ?
On a l'identité remarquable suivante :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = \dfrac{1}{4}\left( \left\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\|^2 - \left\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right\|^2 \right)
Ici, on pose :
- \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OA'}
- \overrightarrow{v} = \overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OB'}
Par la relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{BA'} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OA'} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}
Donc :
\left\| \overrightarrow{BA'} \right\| = \left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\|
On peut alors réécrire l'identité remarquable comme suit :
\left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\|^2 = 4\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} + \left\| \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \right\|^2
D'après l'énoncé, on a d'un côté :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = \overrightarrow{OA'} \cdot \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OA'} \cdot \left( - \overrightarrow{OB} \right) = 182{,}2
Et d'un autre côté par la relation de Chasles :
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}
D'où :
\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2 = \left\| \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \right\|^2
\Rightarrow \left\| \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \right\|^2 = 14^2 = 196
Finalement on a :
\left\| \overrightarrow{BA'} \right\|^2 = \left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\|^2
\left\| \overrightarrow{BA'} \right\|^2 = 4\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} + \left\| \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \right\|^2
\left\| \overrightarrow{BA'} \right\|^2 = 4\times 182{,}2 + 196
\left\| \overrightarrow{BA'} \right\|^2 = 924{,}8
\left\| \overrightarrow{BA'} \right\| = \sqrt{924{,}8}
Ainsi, BA'\approx 30{,}4.
Soit ABCD un parallélogramme, et H le projeté orthogonal de B sur la droite \left( AD\right).
On donne :
AH = 5, HD = 10, et \left(\overrightarrow{AH};\overrightarrow{AB}\right) \approx 63{,}43°
Quelle est la norme du vecteur \overrightarrow{AC} ?
On a l'identité remarquable suivante :
\left\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\|^2=\left\|\overrightarrow{u}\right\|^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\left\|\overrightarrow{v}\right\|^2
Ici, on pose :
- \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
- \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}
Or, par relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}
Donc :
\left\|\overrightarrow{AC}\right\|^2=\left\|\overrightarrow{AB}\right\|^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}+\left\|\overrightarrow{AD}\right\|^2
Comme H est le projeté orthogonal de B sur (AD) , on a :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AD}
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} = \left\|\overrightarrow{AH}\right\| \left\|\overrightarrow{AD}\right\|
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} = AH\times AD
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} = 5 \times 15
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} = 75
D'autre part, comme le triangle AHB est rectangle en H, alors on a :
\text{cos}\left(\overrightarrow{AH};\overrightarrow{AB}\right) = \dfrac{AH}{AB}
Donc :
AB = \dfrac{AH}{\text{cos}\left(\overrightarrow{AH};\overrightarrow{AB}\right)} = \dfrac{5}{\text{cos}(63{,}43°)} \approx 11{,}2
Donc finalement :
\left\|\overrightarrow{AC}\right\|^2=\left\|\overrightarrow{AB}\right\|^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}+\left\|\overrightarrow{AD}\right\|^2
AC\approx \sqrt{11{,}2^2+2\times 75+ 15^2}
Ainsi, AC\approx 22{,}4.
Soit ABCD un parallélogramme.
On donne :
AB = 5, AD = 10, et AC= 7
À l'aide des identités remarquables du produit scalaire, trouver la norme du vecteur \overrightarrow{BD}.
On a les identités remarquables suivantes :
\left\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\|^2=\left\|\overrightarrow{u}\right\|^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\left\|\overrightarrow{v}\right\|^2
\left\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right\|^2=\left\|\overrightarrow{u}\right\|^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\left\|\overrightarrow{v}\right\|^2
En additionnant ces deux identités, on obtient :
\left\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\|^2 + \left\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right\|^2 = \left\|\overrightarrow{u}\right\|^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\left\|\overrightarrow{v}\right\|^2 + \left\|\overrightarrow{u}\right\|^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\left\|\overrightarrow{v}\right\|^2 = 2( \left\|\overrightarrow{u}\right\|^2 + \left\|\overrightarrow{v}\right\|^2)
Ici, on pose :
- \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
- \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}
En appliquant la formule trouvée précédemment à ces vecteurs, on obtient :
\left\|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right\|^2 + \left\|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right\|^2 = 2( \left\|\overrightarrow{AB}\right\|^2 + \left\|\overrightarrow{AD}\right\|^2)
Or, par relation de Chasles, on a :
- \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}
- \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD} =-(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD})=- \overrightarrow{BD}
Donc :
\left\|\overrightarrow{AC}\right\|^2 + \left\|-\overrightarrow{BD}\right\|^2=2( \left\|\overrightarrow{AB}\right\|^2 + \left\|\overrightarrow{AD}\right\|^2)
On connaît ici les longueurs de AB, AC et AD.
Donc, en remplaçant :
7^2+\left\|\overrightarrow{BD}\right\|^2=2(5^2+10^2) \Leftrightarrow \left\|\overrightarrow{BD}\right\|^2 = 250-49 \Leftrightarrow BD=\sqrt{201}
Ainsi, BD=\sqrt{201}.
Soit ABCD un parallélogramme, dont les diagonales ont pour longueur AC=7 et BD=4.
Déterminer la valeur du produit scalaire : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}
On a les identités remarquables suivantes :
\left\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\|^2=\left\|\overrightarrow{u}\right\|^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\left\|\overrightarrow{v}\right\|^2
\left\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right\|^2=\left\|\overrightarrow{u}\right\|^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\left\|\overrightarrow{v}\right\|^2
En isolant le terme \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} dans chacune de ces expressions, on obtient :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \dfrac{1}{2} (\left\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\|^2-\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} )
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= \dfrac{1}{2} (- \left\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right\|^2 +\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})
Finalement, en additionnant ces deux équations, on obtient :
2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \dfrac{1}{2} (\left\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\|^2-\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} ) + \dfrac{1}{2} (- \left\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right\|^2 +\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = \dfrac{1}{2} (\left\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\|^2-\left\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right\|^2)
Ici, on pose :
- \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
- \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}
Donc en utilisant la relation trouvée ci-dessus :
2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{2} ( (\left\|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right\|^2-\left\|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\right\|^2)
Or, par relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}
Donc :
2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{2} ((\left\|\overrightarrow{AC}\right\|^2-\left\|\overrightarrow{DB}\right\|^2) = \dfrac{1}{2} (AD^2-BC^2)= \dfrac{49-16}{2}
Ainsi, \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = \dfrac{33}{4} .