Calculer une norme sans coordonnées de vecteurs Exercice

On cherche la norme du vecteur \overrightarrow{AC}. 

D'après la relation de Chasles, on a : 
 \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}

Donc : 
\left\| \overrightarrow{AC} \right\| = \left\| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right\|

Or on sait que : 
\left\| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right\| ^2 = \left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2+\left\| \overrightarrow{BC} \right\|^2 +2\left( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} \right)

Donc : 
\left\| \overrightarrow{AC} \right\|^2 = 10^2+5^2-2 BA\times BC \times \text{cos}(\overset{\frown}{ABC})
\left\| \overrightarrow{AC} \right\|^2 = 100+25+2 \times 10\times 5 \times \frac{1}{2}
\left\| \overrightarrow{AC} \right\| ^2= 100+25+ 50
\left\| \overrightarrow{AC} \right\|^2 = 175

Donc :
\left\| \overrightarrow{AC} \right\| = \sqrt{175}

On cherche la norme du vecteur \overrightarrow{AC}. 

D'après la relation de Chasles, on a : 
 \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}

Donc : 
\left\| \overrightarrow{AC} \right\| = \left\| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right\|

Or on sait que : 
\left\| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right\| ^2 = \left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2+\left\| \overrightarrow{BC} \right\|^2 +2\left( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} \right)

Donc : 
\left\| \overrightarrow{AC} \right\|^2 = 8^2+9^2-2 BA\times BC \times \text{cos}(\overset{\frown}{ABC})
\left\| \overrightarrow{AC} \right\|^2 = 64+81-2 \times 8\times 9 \times \frac{\sqrt{2}}{2}
\left\| \overrightarrow{AC} \right\| ^2= 145-\sqrt{2} \times 72
\left\| \overrightarrow{AC} \right\|^2 \approx 43{,}2

Donc :
\left\| \overrightarrow{AC} \right\| \approx \sqrt{43{,}2}

On cherche la norme du vecteur \overrightarrow{AC}. 

D'après la relation de Chasles, on a : 
 \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}

Donc : 
\left\| \overrightarrow{AC} \right\| = \left\| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right\|

Or on sait que : 
\left\| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right\| ^2 = \left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2+\left\| \overrightarrow{BC} \right\|^2 +2\left( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} \right)

Donc : 
\left\| \overrightarrow{AC} \right\|^2 = 12^2+20^2-2 BA\times BC \times \text{cos}(\overset{\frown}{ABC})
\left\| \overrightarrow{AC} \right\|^2 = 144+400-2 \times 12\times 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2}
\left\| \overrightarrow{AC} \right\| ^2= 544-\sqrt{3} \times 240
\left\| \overrightarrow{AC} \right\|^2 \approx 128{,}3

Donc :
\left\| \overrightarrow{AC} \right\| \approx \sqrt{128{,}3}

On cherche la norme du vecteur \overrightarrow{AC}. 

D'après la relation de Chasles, on a : 
 \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}

Donc : 
\left\| \overrightarrow{AC} \right\| = \left\| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right\|

Or on sait que : 
\left\| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right\| ^2 = \left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2+\left\| \overrightarrow{BC} \right\|^2 +2\left( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} \right)

Donc : 
\left\| \overrightarrow{AC} \right\|^2 = 7^2+5^2-2 BA\times BC \times \text{cos}(\overset{\frown}{ABC})
\left\| \overrightarrow{AC} \right\|^2 = 49+25-2 \times 7\times 5 \times \frac{1}{2}
\left\| \overrightarrow{AC} \right\| ^2= 74-35
\left\| \overrightarrow{AC} \right\|^2 = 39

Donc :
\left\| \overrightarrow{AC} \right\| = \sqrt{39}

On cherche la norme du vecteur \overrightarrow{AC}. 

D'après la relation de Chasles, on a : 
 \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}

Donc : 
\left\| \overrightarrow{AC} \right\| = \left\| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right\|

Or on sait que : 
\left\| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right\| ^2 = \left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2+\left\| \overrightarrow{BC} \right\|^2 +2\left( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} \right)

Donc :
\left\| \overrightarrow{AC} \right\|^2 = 3^2+4^2-2 BA\times BC \times \text{cos}(\overset{\frown}{ABC})
\left\| \overrightarrow{AC} \right\|^2 = 9+16-2 \times 3\times 4 \times 0
\left\| \overrightarrow{AC} \right\| ^2= 25

Donc :
\left\| \overrightarrow{AC} \right\| = \sqrt{25}