On considère le triangle ABC représenté ci-après :
- H est le pied de la hauteur issue de C.
- AH = 7
- AB = 11
Quelle est la valeur du produit scalaire \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ?
Le point H peut être considéré comme le projeté orthogonal de C sur la droite (AB).
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}
Or les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AH} sont colinéaires et de même sens, donc :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}= AB \times AH
On obtient donc :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=7 \times 11
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=77
On considère le triangle ABC représenté ci-après :
- H est le pied de la hauteur issue de C.
- AB= 11
- AH=3
Quelle est la valeur du produit scalaire \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ?
Le point H peut être considéré comme le projeté orthogonal de C sur la droite (AB).
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}
Or les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AH} sont colinéaires et de sens contraires, donc :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}= -AB \times AH
On obtient donc :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-11 \times 3
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-33
On considère le triangle ABC représenté ci-après :
- H est le pied de la hauteur issue de C.
- AB= 9
- AH=0
Quelle est la valeur du produit scalaire \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ?
Le point H peut être considéré comme le projeté orthogonal de C sur la droite (AB).
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}
Or les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AH} sont colinéaires et de même sens, donc :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}= AB \times AH
On obtient donc :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=9 \times 0
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0
On considère le triangle ABC suivant tel que AB = 8, AC = 6 et BC = 10 :
Quelle est la valeur du produit scalaire \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ?
On connaît uniquement les longueurs des côtés, on utilise donc l'expression du produit scalaire en fonction des normes :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CA}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{CB}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( AB^2+AC^2 - CB^2 \right)
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( 8^2+6^2 - 10^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( 64+36-100\right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 0
On considère le triangle ABC représenté ci-après :
- Le triangle est rectangle en B.
- AB = 7
Quelle est la valeur du produit scalaire \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ?
On considère la figure ci-après composée du carré ABCD de côté a et du triangle équilatéral BCE de côté a :
Quelle est la valeur de \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AE} ?
D'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}\right)
On en déduit que :
\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BE}
Or, les vecteurs \overrightarrow{BC} et \overrightarrow{AB} sont orthogonaux.
Donc :
\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AE} = 0+ \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BE}
D'où :
\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AE} = BC \times BE \times \cos\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BE}\right)
Le triangle BCE étant équilatéral, une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BE}\right) est \dfrac{\pi}{3}.
On en déduit que :
\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AE} = a \times a \times \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AE} =\dfrac{a^2}{2}